Question

（（本小題滿分12分）設(shè)x，y∈R，，為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x，y軸正方向上單位向量，若

向量，，且．

（1）求點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程；

（2）若直線L與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，若求證直線L與某個(gè)定圓E相切，并求出定圓E的方程。

 

 

Answer 1

【答案】

解：①∵，，且．

∴點(diǎn)M（x，y）到兩個(gè)定點(diǎn)F₁（，0），F₂（，0）的距離之和為 ∴點(diǎn)M的軌跡C是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為………………………………………5分

②:當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線為y=kx+m,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，

得

消去y并整理得.

因?yàn)橹本�與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以

…………(﹡)

,  ……………………7分

=

∵

∴=0

滿足(﹡)式，并且，即原點(diǎn)到直線L的距離是,

∴直線L與圓相切。……………………………………………………10分

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為x=m,

∴A(m,),B(m,-), ∵

∴,  ,直線L的方程是,∴直線L與圓相切。

綜合之得：直線L與圓相切�！�……………………………………12分

 

【解析】略