分析 (Ⅰ)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),利用點(diǎn)到直線的距離公式通過(guò)最小值,求出P點(diǎn)坐標(biāo).
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(y214,y1),顯然y1≠2.當(dāng)y1=-2時(shí),求出直線AP的方程;當(dāng)y1≠-2時(shí),求出直線AP的方程與直線l的方程y=x+2聯(lián)立,可得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo),求出B點(diǎn)的縱坐標(biāo),推出BQ∥x軸,求出直線AC的方程與拋物線方程y2=4x聯(lián)立,求得點(diǎn)B的縱坐標(biāo),然后推出結(jié)果BQ∥x軸.
解答 解:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),則y20=4x0,
所以,點(diǎn)P到直線l的距離d=|x0−y0+2|√2=|y204−y0+2|√2=|(y0−2)2+4|4√2≥√22.
當(dāng)且僅當(dāng)y0=2時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2).…(4分)
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(y214,y1),顯然y1≠2.
當(dāng)y1=-2時(shí),A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2),直線AP的方程為x=1;
當(dāng)y1≠-2時(shí),直線AP的方程為y−2=y1−2y214−1(x−1),
化簡(jiǎn)得4x-(y1+2)y+2y1=0;
綜上,直線AP的方程為4x-(y1+2)y+2y1=0.
與直線l的方程y=x+2聯(lián)立,可得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為yQ=2y1−8y1−2.
當(dāng)y21=8時(shí),直線AC的方程為x=2,可得B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為yB=-y1.
此時(shí)yQ=2y1−8y1−2=2−4y1−2=2−4(y1+2)y21−4=−y1,
即知BQ∥x軸,
當(dāng)y21≠8時(shí),直線AC的方程為y−2=y1−2y214−1(x−2),
化簡(jiǎn)得(4y1−8)x−(y21−8)y+(2y21−8y1)=0,
與拋物線方程y2=4x聯(lián)立,消去x,
可得(y1−2)y2−(y21−8)y+(2y21−8y1)=0,
所以點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為yB=y21−8y1−2−y1=2y1−8y1−2.
從而可得BQ∥x軸,
所以,BQ∥x軸.…(13分)
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般,分類與整合等數(shù)學(xué)思想.
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A. | (-∞,1)∪(2,+∞) | B. | (-∞,-2)∪(1,+∞) | C. | (1,2) | D. | (-2,1) |
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A. | 1 | B. | √2015−1 | C. | √2016−1 | D. | √2017−1 |
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A. | 3365或6365 | B. | 6365 | C. | 3365 | D. | 以上都不對(duì) |
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A. | (-1,-13) | B. | (-3,-1) | C. | (-1,+∞) | D. | (-∞,-1)∪(-13,+∞) |
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