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6.過(guò)點(diǎn)C(2,2)作一直線與拋物線y2=4x交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P是拋物線y2=4x上到直線l:y=x+2的距離最小的點(diǎn),直線AP與直線l交于點(diǎn)Q.
(Ⅰ)求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(Ⅱ)求證:直線BQ平行于拋物線的對(duì)稱軸.

分析 (Ⅰ)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),利用點(diǎn)到直線的距離公式通過(guò)最小值,求出P點(diǎn)坐標(biāo).
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為y214y1,顯然y1≠2.當(dāng)y1=-2時(shí),求出直線AP的方程;當(dāng)y1≠-2時(shí),求出直線AP的方程與直線l的方程y=x+2聯(lián)立,可得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo),求出B點(diǎn)的縱坐標(biāo),推出BQ∥x軸,求出直線AC的方程與拋物線方程y2=4x聯(lián)立,求得點(diǎn)B的縱坐標(biāo),然后推出結(jié)果BQ∥x軸.

解答 解:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),則y20=4x0,
所以,點(diǎn)P到直線l的距離d=|x0y0+2|2=|y204y0+2|2=|y022+4|4222
當(dāng)且僅當(dāng)y0=2時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2).…(4分)
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為y214y1,顯然y1≠2.
當(dāng)y1=-2時(shí),A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2),直線AP的方程為x=1;
當(dāng)y1≠-2時(shí),直線AP的方程為y2=y12y2141x1,
化簡(jiǎn)得4x-(y1+2)y+2y1=0;
綜上,直線AP的方程為4x-(y1+2)y+2y1=0.
與直線l的方程y=x+2聯(lián)立,可得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為yQ=2y18y12
當(dāng)y21=8時(shí),直線AC的方程為x=2,可得B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為yB=-y1
此時(shí)yQ=2y18y12=24y12=24y1+2y214=y1,
即知BQ∥x軸,
當(dāng)y218時(shí),直線AC的方程為y2=y12y2141x2,
化簡(jiǎn)得4y18xy218y+2y218y1=0,
與拋物線方程y2=4x聯(lián)立,消去x,
可得y12y2y218y+2y218y1=0,
所以點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為yB=y218y12y1=2y18y12
從而可得BQ∥x軸,
所以,BQ∥x軸.…(13分)

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般,分類與整合等數(shù)學(xué)思想.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅰ)若顧客選擇參加一次抽獎(jiǎng),求他獲得100元現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)的概率;
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