已知函數(shù)f(x)=
a
x
+lnx-1
(a是常數(shù)),
(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)a=1時,方程f(x)=m在x∈[
1
e
,e]
上有兩解,求m的取值范圍;(e≈2.71828)
(Ⅲ)求證:ln
n
n-1
1
n
(n>1,且n∈N*
分析:(Ⅰ)對函數(shù)求導(dǎo)可得,f(x)=
x-a
x2
,要判斷函數(shù)的單調(diào)性,只要判斷導(dǎo)數(shù)的符號,從而分當(dāng)a≤0時,當(dāng)a>0兩種情況考慮
(II)a=1時,f(x)=
x-1
x2
,x∈[
1
e
,e]
,利用導(dǎo)數(shù)知識可求f(x)min=f(1)=0,f(
1
e
)=e-2,>f(e)=
1
e
,結(jié)合函數(shù)的圖象可求m的范圍
(III) 由(II)知f(x)=
1-x
x
+lnx
在[1,+∞)上為增函數(shù),且n>1時,令x=
n
n-1
,則x>1,故f(x)>f(1)=0,代入可證
解答:(Ⅰ)解:對函數(shù)求導(dǎo)可得,f(x)=
x-a
x2
 
當(dāng)a≤0時,在定義域(0,+∞)上,f′(x)>0恒成立,即f(x)單調(diào)增區(qū)間為 (0,+∞);
當(dāng)a>0時,在區(qū)間(0,a)上,f′(x)<0,即f(x)單調(diào)減區(qū)間為 (0,a);
在(a,+∞)上,,f′(x)>0,即f(x)單調(diào)增區(qū)間為 (a,+∞).
(II)解:a=1時,f(x)=
x-1
x2
,x∈[
1
e
,e]

當(dāng)x∈[
1
e
,1)
時,f′(x)<0
當(dāng)x∈(1,e]時,f′(x)>0
∴x=1是函數(shù)f(x)在[
1
e
,e]
上唯一的極小值即為最小值
∴f(x)min=f(1)=0
∵f(
1
e
)=e-2,f(e)=
1
e
,而f(
1
e
)-f(e)=e-2-
1
e
=
e(e-2)-1
e
>0

綜上可得,當(dāng)a=1時,方程f(x)=m在x∈[
1
e
,e]
上有兩解,m的范圍為0<m≤
1
e

(III)證明:若a=1,由(II)知f(x)=
1-x
x
+lnx
在[1,+∞)上為增函數(shù)
當(dāng)n>1時,令x=
n
n-1
,則x>1,故f(x)>f(1)=0
即f(
n
n-1
)=
1-
n
n-1
n
n-1
+ln
n
n-1
=ln
n
n-1
-
1
n
>0

ln
n
n-1
1
n
點評:本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、求解函數(shù)的極值、最值,及利用函數(shù)的單調(diào)性、最值證明不等式,證明(III)的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù),利用單調(diào)性
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1

(1)求證:不論a為何實數(shù)f(x)總是為增函數(shù);
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數(shù);
(3)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時,求f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
(x-5)2-a,x>3
(a>0且a≠1)圖象經(jīng)過點Q(8,6).
(1)求a的值,并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)的大致圖象;
(2)求函數(shù)f(t)-9的零點;
(3)設(shè)q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數(shù)q(t)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)為奇函數(shù),則a=( 。
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實數(shù)a的值;
(III)設(shè)g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定義域;
(2)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
(3)考察f(x)在定義域上單調(diào)性的情況,并證明你的結(jié)論.

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