Question

已知P為圓A：（x+1）²+y²=12 上的動點，點B（l，0）．線段PB的垂直平分線與半徑PA相交于點T，記點TF軌跡為Γ．
（I）求曲線Γ的方程；
（Ⅱ）設(shè)M，N是Γ上的兩個動點，MN的中點H在圓x²+y²=1上，求原點到MN距離的最小值．

Answer 1

考點：軌跡方程,圓與圓的位置關(guān)系及其判定

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）由已知|TB|=|TP|，于是|TA|+|TB|=|TA|+|TP|=2

3

，故曲線Γ是以A，B為焦點，以2

3

為長軸長的橢圓，從而可求曲線Γ的方程；
（Ⅱ）分類討論，設(shè)點作差，求出MN的方程，可得原點O到直線MN距離，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）圓A的圓心為A（-1，0），半徑等于2

3

．
由已知|TB|=|TP|，于是|TA|+|TB|=|TA|+|TP|=2

3

，
故曲線Γ是以A，B為焦點，以2

3

為長軸長的橢圓，a=

3

，c=1，b=

2

，
曲線Γ的方程為

x2

3

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），H（x₀，y₀），
將M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），代入作差得

(x1+x2)(x1-x2)

3

+

(y1+y2)(y1-y2)

2

=0
①x₁=x₂時，y₁+y₂=0，∴H（x₀，0），
∵H在圓x²+y²=1上，
∴x₀=±1，則原點O到直線MN距離為1；
②x₁≠x₂時，設(shè)直線MN的斜率為k，則2x₀+3ky₀=0，且x₀²+y₀²=1，
∴x₀²=

9k2

9k2+4

，y₀²=

4

9k2+4

，
∴x₀y₀=-

3

2

ky₀²=

-6k

9k2+4

設(shè)原點O到直線MN距離為d，則
∵MN的方程為y-y₀=k（x-x₀），即kx-y-kx₀+y₀=0，
∴d²=1-

k2

9k4+13k2+4

，
k=0時，d²=1；
k≠0時，d²=1-

1

9k2+ 4 k2 +13

≥1-

1

25

=

24

25

∵

24

25

＜1，
∴d²的最小值為

24

25

，即d的最小值為

2 6

5

，此時k=±

6

3

，
由①②可知，原點O到直線MN距離的最小值

2 6

5

．

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．