Question

8．已知△ABC中，內角A、B、C所對的邊分別是a，b，c，且bsin2C=csinB．
（1）求角C；
（2）若△ABC為銳角三角形，求$\sqrt{3}$sinBcosB+cos²B的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知，利用正弦定理化簡可得cosC=$\frac{1}{2}$，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求C的值．
（2）利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡所求為$sin（2B+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，結合范圍B∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），利用正弦函數(shù)的圖象和性質即可求解范圍．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）∵由已知，2sinBsinCcosC=sinCsinB，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∴可得：C=$\frac{π}{3}$，
（2）∵$\sqrt{3}sinBcosB+{cos^2}B$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2B+\frac{1+cos2B}{2}$=$sin（2B+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，
又∵△ABC為銳角三角形，且$C=\frac{π}{3}$，
∴B∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），可得：2B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{6}$），
∴sin（2B+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$∈（0，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題主要考查了正弦定理，特殊角的三角函數(shù)值，三角函數(shù)恒等變換的應用，正弦函數(shù)的圖象和性質在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．