Question

13．已知P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，且AB=PA，求：二面角P-BD-A的余弦值．

Answer 1

分析 連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)PO，則∠AOP是二面角P-BD-A的平面角，由此能求出二面角P-BD-A的余弦值．

解答 解：連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)PO，設(shè)AB=PA=a，
∵P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，
∴O是BD中點(diǎn)，AB=AD=a，PB=PD=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{2}a$，
∴AO⊥BD，PO⊥BD，
∴∠AOP是二面角P-BD-A的平面角，
AO=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{1}{2}\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，PO=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{\sqrt{2}a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}a}{2}$，
∴cos∠AOP=$\frac{AO}{PO}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}a}{2}}{\frac{\sqrt{6}a}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角P-BD-A的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．