Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．
（Ⅰ）求證：平面PBC⊥平面PAC
（Ⅱ）若PA=1，AB=2，BC=AC，在線段AC上是否存在一點(diǎn)D，使得直線BD與平面PBC所成角為30°？若存在，求出CD的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過(guò)證明BC⊥平面PAC，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面PBC⊥平面PAC
（Ⅱ）以C為原點(diǎn)，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，求出平面PBC的法向量，直線BD對(duì)應(yīng)的向量，利用向量的數(shù)量積通過(guò)直線與平面所成角，求出D不滿足題意即可．

解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵∠PAB=∠PAC=90°，∴PA⊥AB，PA⊥AC．
∵AB∩AC=A，∴PA⊥平面ABC------------------------（1分）
∵BC?平面ABC，∴BC⊥PA．------------------------（2分）
∵∠ACB=90°，∴BC⊥CA．
∵PA∩CA=A，∴BC⊥平面PAC．------------（3分）
∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC．------------（4分）
（Ⅱ）在線段AC上不存在點(diǎn)D，使得直線BD與平面PBC所成角為30°．
由已知可知，BC⊥CA，AB=2，此時(shí)BC=AC=

2

．------------（5分）
以C為原點(diǎn)，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，則

CB

=(0，

2

，0)，

CP

=(

2

，0，1)，
設(shè)

n

=(x，y，z)是平面PBC的法向量，則

CB • n =0 CP • n =0

⇒

2 •y=0 2 x+z=0

，
取x=1，得

n

=(1，0，-

2

)，------------（8分）
設(shè)線段AC上的點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（t，0，0），則

BD

=(t，-

2

，0)(0≤t≤

2

)，
∵sin30°=

| n • BD|

| n |•| BD|

=

t

3 • t2+2

，解得t=

6

∉[0，

2

]，------------（11分）
∴在線段AC上不存在點(diǎn)D，使得直線BD與平面PBC所成角為30°．------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法與應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．