Question

11．一個多面體從前面、后面、左側(cè)、右側(cè)、上方看到的圖形分別如圖所示（其中每個正方形邊長都為1），則該多面體的體積為$\frac{5}{6}$，表面積為$\frac{9+\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 首先從多面體外形入手，外形都是正方形，說明多面體是由一個正方體切割而成．結(jié)合多面體從前面、后面、左側(cè)、右側(cè)、上方視圖，發(fā)現(xiàn)該多面體是由一個正方體沿著相鄰三個面的對角線切割去一個三棱錐．其體積等于正方體體積減去三棱錐體積．其表面積是：三個面的平面成了三角形，多了一個等邊三角形的平面．

解答
解：該多面體是由一個正方體沿著相鄰三個面的對角線切割去一個三棱錐．
∴其體積：V=V_正-V_錐
 $V=1×1×1-\frac{1}{3}×1×1×\frac{1}{2}×1$
V=$\frac{5}{6}$；
其表面積：
S_表=3S_正方形+3S_三角形+S_{等邊三角形}
=$3×1×1+3×1×1×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}$
=$\frac{9}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{9+\sqrt{3}}{2}$
故填：$\frac{5}{6}$，$\frac{9+\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了多面體的視圖判斷多面體的形狀，求其體積和表面積，多采用“補形還原法，或者分割法”，還原成熟悉的立體圖或者分割成熟悉的正方體或長方體或者棱柱棱錐．注重對空間思維的培養(yǎng)和開發(fā)．屬于中檔題．