Question

12．已知雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），它的一個頂點到一條漸近線的距離為d，已知d≥$\frac{\sqrt{2}}{3}$c（c為雙曲線的半焦距長），則雙曲線的離心率的取值范圍為（　　）

• A． [$\frac{\sqrt{6}}{2}$，2]
• B． [$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{3}$]
• C． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$]
• D． （1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）∪[$\sqrt{3}$，+∞）

Answer 1

分析 設(shè)出頂點坐標和漸近線的方程，根據(jù)點到直線的距離公式，結(jié)合不等式的關(guān)系解不等式即可．

解答 解：設(shè)雙曲線的一個頂點為A（a，0），雙曲線的一條漸近線為y=$\frac{a}$x，即bx-ay=0，
∵點到一條漸近線的距離為d，已知d≥$\frac{\sqrt{2}}{3}$c，
∴d=$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{ab}{c}$≥$\frac{\sqrt{2}}{3}$c，
即ab≥$\frac{\sqrt{2}}{3}$c²，
平方得a²b²≥$\frac{2}{9}$c⁴，
即9a²（c²-a²）≥2c⁴，
即2c⁴-9a²c²+9a⁴≤0，
則2e⁴-9e²+9≤0，
則$\frac{3}{2}$≤e²≤3，
則$\frac{\sqrt{6}}{2}$≤e≤$\sqrt{3}$，
故選：B

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)點到直線的距離公式，結(jié)合不等式進行求解是解決本題的關(guān)鍵．