Question

7．己知函數f（x）=alnx+$\frac{b（x+1）}{x}$，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=2．
（1）求a、b的值；
（2）當x＞0且x≠1時．求證：f（x）＞$\frac{（x+1）lnx}{x-1}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數，由已知切線方程，可得f（1）=2，f′（1）=0，解方程可得a，b的值；
（2）討論x＞1，0＜x＜1時，原不等式的等價變形，設g（x）=x-$\frac{1}{x}$-2lnx，求得導數，判斷單調性，即可得證．

解答 解：（1）函數f（x）=alnx+$\frac{b（x+1）}{x}$的導數為f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{{x}^{2}}$，
曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=2，
可得f（1）=2b=2，f′（1）=a-b=0，
解得a=b=1；
（2）證明：當x＞1時，f（x）＞$\frac{（x+1）lnx}{x-1}$，
即為lnx+1+$\frac{1}{x}$＞lnx+$\frac{2lnx}{x-1}$，
即x-$\frac{1}{x}$-2lnx＞0，
當0＜x＜1時，f（x）＞$\frac{（x+1）lnx}{x-1}$，
即為x-$\frac{1}{x}$-2lnx＜0，
設g（x）=x-$\frac{1}{x}$-2lnx，g′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{（x-1）^{2}}{{x}^{2}}$≥0，
可得g（x）在（0，+∞）遞增，
當x＞1時，g（x）＞g（1）=0，即有f（x）＞$\frac{（x+1）lnx}{x-1}$；
當0＜x＜1時，g（x）＜g（1）=0，即有f（x）＞$\frac{（x+1）lnx}{x-1}$．
綜上可得，當x＞0且x≠1時，f（x）＞$\frac{（x+1）lnx}{x-1}$都成立．

點評 本題考查導數的運用：求切線的斜率和單調區(qū)間，考查不等式的證明，注意運用分類討論的思想方法，以及構造函數法，運用單調性證明，考查運算能力，屬于中檔題．