分析 由題意知a2n=a1+(2n-1)d,2an-3=2a1+2(n-1)d-3,從而可得a1=d+3,再結(jié)合a62=a1•a21可得等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為5,公差為2,從而化簡(jiǎn)Sn2n−1=n(n+4)2n−1=2•n(n+4)2n,從而可得{2n(n+2)2n≥2(n−1)(n+1)2n2n(n+2)2n≥2(n+1)(n+3)2n+1,從而解得.
解答 解:設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,
∴a2n=a1+(2n-1)d,
2an-3=2a1+2(n-1)d-3,
∴a1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d-3,
即a1=d+3,
∵a62=a1•a21,
∴(d+3+5d)2=(d+3)•(d+3+20d),
即d=0(舍去)或d=2,
故等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為5,公差為2,
故Sn=5n+n(n−1)2•2=n(n+4),
故Sn2n−1=n(n+4)2n−1=2•n(n+4)2n,
故{Sn2n−1≥Sn−12n−2Sn2n−1≥Sn+12n,
即{2n(n+2)2n≥2(n−1)(n+1)2n2n(n+2)2n≥2(n+1)(n+3)2n+1,
解得,√6-1≤n≤√6,
故n=2,
故數(shù)列{Sn2n−1}項(xiàng)中的最大值為S222−1=6,
故答案為:6.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用,同時(shí)考查了最大值的求法與應(yīng)用.
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