Question

（2012•贛州模擬）某中學(xué)對某班50名學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績進(jìn)行長期的調(diào)查，學(xué)習(xí)習(xí)慣和數(shù)學(xué)成績都只分良好和一般兩種情況，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（因某種原因造成數(shù)據(jù)缺省，現(xiàn)將缺省部分?jǐn)?shù)據(jù)用x，y，z，m，n表示）如下表所示：

	數(shù)學(xué)成績良好	數(shù)學(xué)成績一般	合計(jì)
學(xué)習(xí)習(xí)慣良好	20	x	25
學(xué)習(xí)習(xí)慣一般	y	21	z
合計(jì)	24	m	n

（1）在該班任選一名學(xué)習(xí)習(xí)慣良好的學(xué)生，求其數(shù)學(xué)成績也良好的概率．
（2）已知A是學(xué)習(xí)習(xí)慣良好但數(shù)學(xué)成績一般的學(xué)生，B是學(xué)習(xí)習(xí)慣一般但數(shù)學(xué)成績良好的學(xué)生，在學(xué)習(xí)習(xí)慣良好但數(shù)學(xué)成績一般的學(xué)生和學(xué)習(xí)習(xí)慣一般但數(shù)學(xué)成績良好的學(xué)生中，各選取一學(xué)生作代表，求A、B至少有一個(gè)被選中的概率．
（3）有多大的把握認(rèn)為該班的學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣與數(shù)學(xué)成績有關(guān)系？說明理由．
參考公式：Χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

；
臨界值表：

p（Χ2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析：（1）首先確定n=50，x=5，z=25，y=4，d=26，求得從學(xué)習(xí)習(xí)慣良好的學(xué)生中任選一人共有25種情況，而數(shù)學(xué)成績良好的共有20種情況，從而可求概率；
（2）利用列舉法，求得選人所有可能，A、B至少有一個(gè)被選中的結(jié)果，利用古典概型概率公式，即可求得結(jié)論；
（3）利用公式求得Χ²，對照臨界值表，即可求得結(jié)論．

解答：解：由已知：n=50，∴x=5，z=25，y=4，d=26…（2分）
（1）從學(xué)習(xí)習(xí)慣良好的學(xué)生中任選一人共有25種情況，而數(shù)學(xué)成績良好的共有20種情況
∴P=

20

25

=

4

5

…（4分）
（2）記A、B至少有一個(gè)被選中為事件T
記除A外其他學(xué)習(xí)習(xí)慣良好但數(shù)學(xué)成績一般的同學(xué)分別為A₁，A₂，A₃，A₄，除B外其他學(xué)習(xí)習(xí)慣一般但數(shù)學(xué)成績良好的同學(xué)分別為B₁，B₂，B₃，則選人所有可能有：AB，AB₁，AB₂，AB₃A₁B，A₁B₁，A₁B₂，A₁B₃A₂B，A₂B₁，A₂B₂，A₂B₃A₃B，A₃B₁，A₃B₂，A₃B₃A₄B，A₄B₁，A₄B₂，A₄B₃共20個(gè)結(jié)果    …（6分）
其中T中含AB，AB₁，AB₂，AB₃，A₁B，A₂B，A₃B，A₄B共8個(gè)結(jié)果…（7分）
P(T)=

8

20

=

2

5

…（8分）
（3）Χ2=

50×(20×21-5×4)2

24×26×25×25

≈20.513＞10.828…（11分）
∴我們有99.9%的把握認(rèn)為“該班學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績”有關(guān)系  …（12分）

點(diǎn)評：本題考查概率的計(jì)算，考查列舉法確定基本事件，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)知識，正確運(yùn)算是關(guān)鍵．