分析 (1)由數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=-an-(12)n−1+2(n∈N*).可得:a1=S1=-a1-1+2,解得a1.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1,化為:an=12an−1+(12)n.只要證明:bn+1-bn=常數(shù)即可.
(2)cn=log2nan=n,可得:1cncn+1=1n(n+1)=1n−1n+1.利用“裂項(xiàng)求和”與數(shù)列的單調(diào)性即可得出.
解答 (1)證明:∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=-an-(12)n−1+2(n∈N*).
∴a1=S1=-a1-1+2,解得a1=12.
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=-an-(12)n−1+2-[−an−1−(12)n−2+2],
化為:an=12an−1+(12)n.
∴bn+1-bn=2n+1an+1-2nan=2n+1[12an+(12)n+1]-2nan=1,
∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,首項(xiàng)b1=2a1=1,公差為1.
∴bn=1+(n-1)=n.
∴an=n2n.
(2)解:cn=log2nan=n,
∴1cncn+1=1n(n+1)=1n−1n+1.
∴數(shù)列{1cncn+1}的前n項(xiàng)和為Tn=(1−12)+(12−13)+…+(1n−1n+1)=1-1n+1=nn+1.
不等式λ≤Tn化為:λ≤1-1n+1,
∵不等式λ≤Tn對(duì)任意的n∈N*恒成立,
∴λ≤\frac{1}{2}.
∴實(shí)數(shù)λ的最大值是\frac{1}{2}.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性與不等式的性質(zhì)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | ①②③ | B. | ②④⑤ | C. | ④⑤ | D. | ②⑤ |
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A. | \frac{x^2}{3}-\frac{{4{y^2}}}{3}=1 | B. | \frac{{4{x^2}}}{3}-\frac{y^2}{3}=1 | ||
C. | \frac{{4{x^2}}}{3}-\frac{y^2}{3}=1或\frac{x^2}{3}-\frac{{4{y^2}}}{3}=1 | D. | \frac{{4{y^2}}}{3}-\frac{x^2}{3}=1 |
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A. | 函數(shù)f(x)在[-\frac{π}{2},\frac{π}{2}]上單調(diào)遞增 | B. | 函數(shù)f(x)的值域是[-1,1] | ||
C. | ?x0∈R,f(-x0)≠-f(x0) | D. | ?x∈R,f(-x)≠f(x) |
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