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1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=-an-12n1+2(n∈N*).?dāng)?shù)列{bn}滿足bn=2nan
(1)求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn=log2nan,數(shù)列{1cncn+1}的前n項(xiàng)和為Tn.若不等式λ≤Tn對(duì)任愈的n∈N*恒成立,求實(shí)數(shù)λ的最大值.

分析 (1)由數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=-an-12n1+2(n∈N*).可得:a1=S1=-a1-1+2,解得a1.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1,化為:an=12an1+12n.只要證明:bn+1-bn=常數(shù)即可.
(2)cn=log2nan=n,可得:1cncn+1=1nn+1=1n1n+1.利用“裂項(xiàng)求和”與數(shù)列的單調(diào)性即可得出.

解答 (1)證明:∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=-an-12n1+2(n∈N*).
∴a1=S1=-a1-1+2,解得a1=12
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=-an-12n1+2-[an112n2+2],
化為:an=12an1+12n
∴bn+1-bn=2n+1an+1-2nan=2n+1[12an+12n+1]-2nan=1,
∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,首項(xiàng)b1=2a1=1,公差為1.
∴bn=1+(n-1)=n.
∴an=n2n
(2)解:cn=log2nan=n,
1cncn+1=1nn+1=1n1n+1
∴數(shù)列{1cncn+1}的前n項(xiàng)和為Tn=112+1213+…+1n1n+1=1-1n+1=nn+1
不等式λ≤Tn化為:λ≤1-1n+1
∵不等式λ≤Tn對(duì)任意的n∈N*恒成立,
λ≤\frac{1}{2}
∴實(shí)數(shù)λ的最大值是\frac{1}{2}

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性與不等式的性質(zhì)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

11.a(chǎn),b表示不同的直線,α,β,γ表示不同的平面.
①若α∩β=a,b?α,a⊥b,則α⊥β;
②若a?α,a垂直于β內(nèi)任意一條直線,則α⊥β;
③若α⊥β,α∩β=a,α∩γ=b,則a⊥b;
④若a不垂直平面α,則a不可能垂直于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線;
⑤若a⊥α,b⊥β,a∥b,則α∥β.
上述五個(gè)命題中,正確命題的序號(hào)是( �。�
A.①②③B.②④⑤C.④⑤D.②⑤

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

12.已知向量\overrightarrow m=(cos\frac{x}{3},\sqrt{3}cos\frac{x}{3}),\overrightarrow n=(sin\frac{x}{3},cos\frac{x}{3}),f(x)=\overrightarrow m•\overrightarrow n
 (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)如果先將f(x)的圖象向左平移φ(φ>0)個(gè)單位,再保持縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的\frac{1}{3}倍,得到函數(shù)g(x)的圖象,若g(x)為偶函數(shù),求φ的最小值.

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9.在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線C過(guò)點(diǎn)P(1,1),且其兩條漸近線的方程分別為2x+y=0和2x-y=0,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為( �。�
A.\frac{x^2}{3}-\frac{{4{y^2}}}{3}=1B.\frac{{4{x^2}}}{3}-\frac{y^2}{3}=1
C.\frac{{4{x^2}}}{3}-\frac{y^2}{3}=1\frac{x^2}{3}-\frac{{4{y^2}}}{3}=1D.\frac{{4{y^2}}}{3}-\frac{x^2}{3}=1

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16.設(shè)關(guān)于x的方程x2+4mx+4n=0.
(Ⅰ)若m∈{1,2,3},n∈{0,1,2},求方程有實(shí)根的概率;
(Ⅱ)若m、n∈{-2,-1,1,2},求當(dāng)方程有實(shí)根時(shí),兩根異號(hào)的概率.

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6.已知函數(shù)f(x)=\left\{\begin{array}{l}x,|x|≤1\\ sin\frac{π}{2}x,|x|>1\end{array}\right.則下列結(jié)論正確的是(  )
A.函數(shù)f(x)在[-\frac{π}{2},\frac{π}{2}]上單調(diào)遞增B.函數(shù)f(x)的值域是[-1,1]
C.?x0∈R,f(-x0)≠-f(x0D.?x∈R,f(-x)≠f(x)

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13.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F(-\sqrt{3},0),其離心率為\frac{\sqrt{3}}{2}
(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)圓x2+y2=\frac{4}{5}的任一條切線與該橢圓均有兩個(gè)交點(diǎn)A、B,求證0A⊥0B.

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10.已知△ABC中,A=45°,B=60°,b=\sqrt{3},那么a=\sqrt{2}

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11.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1•an=2n
(1)求an
(2)求{an}的前n項(xiàng)和Sn

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