Question

在各項(xiàng)為正的數(shù)列{a_n}中，數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=

1

2

（a_n+

1

an

），
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）由（1）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件，分別令n=1，2，3，能夠求出a₁，a₂，a₃．
（2）由（1）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式：an=

n

-

n-1

(n∈N*)，檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．

解答：解：（1）易求得a1=1，a2=

2

-1，a3=

3

-

2

（3分）；
（2）猜想an=

n

-

n-1

(n∈N*)（5分）
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a1=

1

-

0

=1，命題成立  
②假設(shè)n=k時(shí)，ak=

k

-

k-1

成立，（8分）
則n=k+1時(shí)，ak+1=Sk+1-Sk=

1

2

(ak+1+

1

ak+1

)-

1

2

(ak+

1

ak

)=

1

2

(ak+1+

1

ak+1

)-

1

2

(

k

-

k-1

+

1

k - k-1

)=

1

2

(ak+1+

1

ak+1

)-

k

，
所以，

a

2 k+1

+2

k

ak+1-1=0，∴ak+1=

k+1

-

k

．
即n=k+1時(shí)，命題成立．
由①②知，n∈N^*時(shí)，an=

n

-

n-1

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問(wèn)題的方法，考查邏輯推理能力，計(jì)算能力．注意在證明n=k+1時(shí)用上假設(shè)，化為n=k的形式．