Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，點F為PC的中點．
（Ⅰ）求證：PA∥平面BDF；
（Ⅱ）求證：平面PAC⊥平面BDF．

Answer 1

分析：（I）連接AC，BD與AC交于點O，連接OF，由三角形中位線定理可得OF∥PA，再由線面平行的判定定理，即可得到PA∥平面BDF；
（Ⅱ）由已知中PA⊥平面ABCD，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，我們可證得OF⊥AC，AC⊥BD．由線面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDF．再由面面垂直的判定定理得到，平面PAC⊥平面BDF．

解答：證明：（Ⅰ）連接AC，BD與AC交于點O，連接OF．…（1分）
∵ABCD是菱形，
∴O是AC的中點．
∵點F為PC的中點，
∴OF∥PA．  …（4分）
∵OF?平面BDF，PA?平面BDF，
∴PA∥平面BDF．                …（6分）
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PA⊥AC．
∵OF∥PA，
∴OF⊥AC．      …（8分）
∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．            …（10分）
∵OF∩BD=O，
∴AC⊥平面BDF．      …（12分）
∵AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面BDF．   …（14分）

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，其中（I）的關(guān)鍵是證得OF∥PA，（II）的關(guān)鍵是熟練掌握空間中線線垂直，線面垂直及面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化．