“無(wú)字證明”(proofs without words),就是將數(shù)學(xué)命題用簡(jiǎn)單、有創(chuàng)意而且易于理解的幾何圖形來(lái)呈現(xiàn).請(qǐng)利用圖甲、圖乙中陰影部分的面積關(guān)系,寫出該圖所驗(yàn)證的一個(gè)三角恒等變換公式:   
【答案】分析:左右圖中大矩形的面積相等,左邊的圖中陰影部分的面積為 S1=sin(α+β),在右邊的圖中,陰影部分的面積 S2 等于2個(gè)陰影小矩形的面積之和,等于sinαcosβ+cosαsinβ.而面積 S2 還等于大矩形得面積S 減去2個(gè)小空白矩形的面積,再由
2個(gè)圖中空白部分的面積相等,可得S1 =S2 ,從而得出結(jié)論.
解答:解:在左邊的圖中大矩形的面積S=(cosβ+cosα)(sinβ+sinα)
=sinβcosβ+cosβsinα+cosαsinα+sinβcosα+sinαcosα=sin(α+β)+sinβcosβ+sinαcosα.
用大矩形的面積S減去4個(gè)直角三角形的面積就等于陰影部分的面積 S1
空白部分的面積等于4個(gè)直角三角形的面積,即2×(+sinαcosα)=sinβcosβ+sinαcosα.
故陰影部分的面積 S1 =S-sinβcosβ+sinαcosα=sin(α+β).
而在右邊的圖中陰影部分的面積 S2 等于2個(gè)陰影小矩形的面積之和,即S2=sinαcosβ+cosαsinβ.
在右邊的圖中大矩形的面積也等于S,S2等于大矩形得面積S 減去2個(gè)小空白矩形的面積,
而2個(gè)空白矩形的面積之和,即sinβcosβ+sinαcosα,
故左圖中空白部分的面積等于右圖中空白部分的面積.
故左右圖中陰影部分的面積也相等,即 S1 =S2 ,故有sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,
故答案為 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查三角函數(shù)的恒等式的證明,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

“無(wú)字證明”(proofs without words),就是將數(shù)學(xué)命題用簡(jiǎn)單、有創(chuàng)意而且易于理解的幾何圖形來(lái)呈現(xiàn).請(qǐng)利用圖甲、圖乙中陰影部分的面積關(guān)系,寫出該圖所驗(yàn)證的一個(gè)三角恒等變換公式:
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年福建省福州市高三第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué) 題型:填空題

“無(wú)字證明”(proofs without words),就是將數(shù)學(xué)命題用簡(jiǎn)單、有創(chuàng)意而且易于理解的幾何圖形來(lái)呈現(xiàn).請(qǐng)利用圖甲、圖乙中陰影部分的面積關(guān)系,寫出該圖所驗(yàn)證的一個(gè)三角恒等變換公式:                    

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年福建省福州市高三第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)文科數(shù)學(xué) 題型:填空題

“無(wú)字證明”(proofs without words),就是將數(shù)學(xué)命題用簡(jiǎn)單、有創(chuàng)意而且易于理解的幾何圖形來(lái)呈現(xiàn).請(qǐng)利用圖甲、圖乙中陰影部分的面積關(guān)系,寫出該圖所驗(yàn)證的一個(gè)三角恒等變換公式:

 

 

 

 

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年福建省泉州市晉江市養(yǎng)正中學(xué)高二(下)第一次月考數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:填空題

“無(wú)字證明”(proofs without words),就是將數(shù)學(xué)命題用簡(jiǎn)單、有創(chuàng)意而且易于理解的幾何圖形來(lái)呈現(xiàn).請(qǐng)利用圖甲、圖乙中陰影部分的面積關(guān)系,寫出該圖所驗(yàn)證的一個(gè)三角恒等變換公式:   

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案