若向量
a
=(sinθ，cosθ)，
b
=(
3
，-1)，
a
•
b
=1，且θ∈(0，
π
2
)．
（1）求θ；
（2）求函數(shù)f（x）=cos2x+4cosθsinx的值域．
分析：（1）先根據(jù)向量的數(shù)量積得到
a
•
b
=
3
sinθ-cosθ=1，再由兩角和與差的正弦公式可得sin(θ-
π
6
)=
1
2
進而得到θ的值．
（2）先求出cosθ的值代入函數(shù)f（x），然后由二倍角公式將函數(shù)f（x）化簡為f（x）=-2(sinx-
1
2
)2+
3
2
，再由sinx的范圍得到f（x）的值域．
解答：解：（1）依題意：
a
•
b
=
3
sinθ-cosθ=1
所以2sin(θ-
π
6
)=1，即sin(θ-
π
6
)=
1
2

又A為銳角，易得θ-
π
6
=
π
6
，故θ=
π
3

（2）由（1）可知cosθ=
1
2

所以f（x）=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx=-2(sinx-
1
2
)2+
3
2

因為x∈R，則sinx∈[-1，1]
所以，當sinx=
1
2
時，f（x）有最大值
3
2

當sinx=-1時，f（x）有最小值-3
故函數(shù)f（x）的值域是[-3，
3
2
]．
點評：本題主要考查已知三角函數(shù)值求角和二倍角公式的應用．屬基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(
x
2
+
π
12
)，cos
x
2
)，
b
=(cos(
x
2
+
π
12
)，-cos
x
2
)，x∈[
π
2
，π]，函數(shù)f（x）=
a
•
b
．
（1）若cosx=-
3
5
，求函數(shù)f（x）的值；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象按向量
c
=（m，n）（0＜m＜π）平移，使得平移后的圖象關于原點對稱，求向量
c
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知A（1，2），B（3，-6），向量
a
=(x+3，y-4)，若 
a
=2
AB
，求x，y的值；
（2）向量
a
=(sinθ，-2)與
b
=(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈(0，
π
2
)．求sinθ，cosθ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•未央?yún)^(qū)三模）若向量
a
=（cosθ，sinθ），
b
=(
3
，-1)，則
.
a
-
b
.
的最大值為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

若向量
a
=(sinθ，cosθ)，
b
=(
3
，-1)，
a
•
b
=1，且θ∈(0，
π
2
)．
（1）求θ；
（2）求函數(shù)f（x）=cos2x+4cosθsinx的值域．

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