Question

（1）求（1+2x）⁷展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)；
（2）求（1-2x）⁷展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）本題要求二項(xiàng)式中系數(shù)最大的項(xiàng)，設(shè)出第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，則這一項(xiàng)不小于它的前一項(xiàng)且不小于它的后一項(xiàng)，列出不等式組，解不等式組，根據(jù)r是正整數(shù)得到結(jié)果．
（2）本題要求二項(xiàng)式中系數(shù)最大的項(xiàng)，展開(kāi)式共有8項(xiàng)，系數(shù)最大項(xiàng)必為正項(xiàng)，即在第一、三、五、七這四項(xiàng)中取得，故系數(shù)最大項(xiàng)必在中間或偏右，只需比較T₅和T₇兩項(xiàng)系數(shù)大小即可．

解答：解：（1）設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，則有

C r 7 •2r≥ C r+1 7 •2r+1 C r 7 •2r≥ C r-1 7 •2r-1

，
即

7! r!(7-r)! ≥2• 7! (r+1)!(6-r)! 2• 7! r!(7-r)! ≥ 7! (r-1)!(8-r)!

，
即

r+1≥2(7-r) 2(8-r)≥r

，
∴

13

3

≤r≤

16

3

且0≤r≤7，r∈Z，
∴r=5．
∴系數(shù)最大項(xiàng)為T(mén)₆=C₇⁵•2⁵•x⁵=672x⁵；
（2）展開(kāi)式共有8項(xiàng)，系數(shù)最大項(xiàng)必為正項(xiàng)，
即在第一、三、五、七這四項(xiàng)中取得，
故系數(shù)最大項(xiàng)必在中間或偏右，
∴只需比較T₅和T₇兩項(xiàng)系數(shù)大小即可．
∵T₅=C₇⁴（-2）⁴x⁴=560x⁴，T₇=C₇⁶（-2）⁶x⁶=448x⁶，
∴系數(shù)最大的項(xiàng)是第五項(xiàng)為T(mén)₅=C₇⁴（-2）⁴x⁴=560x⁴．

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)典型的二項(xiàng)式問(wèn)題，主要考查二項(xiàng)式的性質(zhì)，注意二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)之間的關(guān)系，這是容易出錯(cuò)的地方，本題考查展開(kāi)式的通項(xiàng)式，這是解題的關(guān)鍵．