Question

8．已知函數(shù)f（x）=|x-m|+|x+4|（m∈R）
（1）當(dāng)m=5時(shí)，求不等式f（x）≤10的解集；
（2）若不等式f（x）≥7對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)m=5時(shí)，f（x）≤12，即|x-5|+|x+4|≤10，通過(guò)討論x的范圍，從而求得不等式f（x）≤12的解集；
（2）由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求得f（x）的最小值為|m+4|，由題意得|m+4|≥7，由此求得m的范圍．

解答 解：（1）m=5時(shí)，f（x）≤10記|x-5|+|x+4|≤10，
x＜-4時(shí)，-2x≤9，記x≥-$\frac{9}{2}$，故-$\frac{9}{2}$≤x＜-4，
-4≤x≤5時(shí)，得：9≤10成立，故-4≤x≤5，
x＞5時(shí)，得：2x≤11，即x≤$\frac{11}{2}$，故5＜x≤$\frac{11}{2}$，
故不等式的解集是{x|-$\frac{9}{2}$≤x≤$\frac{11}{2}$}；
（2）f（x）=|x-m|+|x+4|≥|（x-m）-（x+4）|=|m+4|，
由題意得|m+4|≥7，
則m+4≥7或m+4≤-7，簡(jiǎn)單：m≥3或m≤-11，
故m的范圍是（-∞，-11]∪[3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．