Question

12．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的右焦點到直線$l：x=\frac{a^2}{c}$的距離為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，離心率$e=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，A，B是橢圓上的兩動點，動點P滿足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OB}$，（其中λ為常數(shù)）．
（1）求橢圓標準方程；
（2）當λ=1且直線AB與OP斜率均存在時，求|k_AB|+|k_OP|的最小值；
（3）若G是線段AB的中點，且k_OA•k_OB=k_OG•k_AB，問是否存在常數(shù)λ和平面內(nèi)兩定點M，N，使得動點P滿足PM+PN=18，若存在，求出λ的值和定點M，N；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知列關于a，b，c的方程組，求解方程組可得橢圓標準方程；
（2）設出A，B的坐標，把λ=1代入$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OB}$，求得P的坐標，求出AB、OP的斜率并作積，結合絕對值的不等式求解|k_AB|+|k_OP|的最小值；
（3）設P（x，y），則由$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OB}$，得x=x₁+λx₂，y=y₁+λy₂．再由點A、B在橢圓4x²+9y²=36上，得到$\frac{x^2}{{9+9{λ^2}}}+\frac{y^2}{{4+4{λ^2}}}=1$，說明P點是橢圓$\frac{x^2}{{9+9{λ^2}}}+\frac{y^2}{{4+4{λ^2}}}=1$上的點，設該橢圓的左、右焦點為M、N，則由橢圓的定義PM+PN=18，得18=$2\sqrt{9+9{λ^2}}$，由此求得λ值．

解答 解：（1）由題設可知：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}}{c}-c=\frac{4\sqrt{5}}{5}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}}\\{^{2}={a}^{2}-{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$a=3，c=\sqrt{5}$，b=2．
∴橢圓標準方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則由$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OB}$，得P（x₁+x₂，y₁+y₂）．
∴${k_{AB}}•{k_{OP}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}•\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}=\frac{y_1^2-y_2^2}{x_1^2-x_2^2}=-\frac{4}{9}$．
由|k_AB|∈（0，+∞）得，$|{{k_{AB}}}|+|{{k_{OP}}}|≥2\sqrt{|{{k_{AB}}•{k_{OP}}}|}=\frac{4}{3}$，
當且僅當${k_{AB}}=±\frac{2}{3}$時取等號；
（3）∵${k}_{AB}•{k}_{OG}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}•\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}=\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}$=$-\frac{4}{9}$．
∴${k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{4}{9}$．∴4x₁x₂+9y₁y₂=0．
設P（x，y），則由$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OB}$，
得（x，y）=（x₁，y₁）+λ（x₂，y₂）=（x₁+λx₂，y₁+λy₂），
即x=x₁+λx₂，y=y₁+λy₂．
∵點A、B在橢圓4x²+9y²=36上，
∴4x²+9y²=36+36λ²+2λ（4x₁x₂+9y₁y₂）．
∴4x²+9y²=36+36λ²．
即$\frac{x^2}{{9+9{λ^2}}}+\frac{y^2}{{4+4{λ^2}}}=1$，
∴P點是橢圓$\frac{x^2}{{9+9{λ^2}}}+\frac{y^2}{{4+4{λ^2}}}=1$上的點，
設該橢圓的左、右焦點為M、N，
則由橢圓的定義PM+PN=18，得18=$2\sqrt{9+9{λ^2}}$，
∴$λ=±2\sqrt{2}$，$M（{3\sqrt{5}，0}）$，$N（{-3\sqrt{5}，0}）$．
∴存在常數(shù)λ=$±2\sqrt{2}$，和平面內(nèi)兩定點M（$3\sqrt{5}$，0），N（$-3\sqrt{5}$，0），使得動點P滿足PM+PN=18．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線位置關系的應用，訓練了絕對值不等式在求解最值中的應用，考查存在性問題的求解方法，是壓軸題．