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12.已知橢圓x2a2+y2b2=1ab0的右焦點到直線lx=a2c的距離為455,離心率e=53,A,B是橢圓上的兩動點,動點P滿足\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OB},(其中λ為常數(shù)).
(1)求橢圓標準方程;
(2)當λ=1且直線AB與OP斜率均存在時,求|kAB|+|kOP|的最小值;
(3)若G是線段AB的中點,且kOA•kOB=kOG•kAB,問是否存在常數(shù)λ和平面內(nèi)兩定點M,N,使得動點P滿足PM+PN=18,若存在,求出λ的值和定點M,N;若不存在,請說明理由.

分析 (1)由已知列關于a,b,c的方程組,求解方程組可得橢圓標準方程;
(2)設出A,B的坐標,把λ=1代入\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OB},求得P的坐標,求出AB、OP的斜率并作積,結合絕對值的不等式求解|kAB|+|kOP|的最小值;
(3)設P(x,y),則由\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OB},得x=x1+λx2,y=y1+λy2.再由點A、B在橢圓4x2+9y2=36上,得到\frac{x^2}{{9+9{λ^2}}}+\frac{y^2}{{4+4{λ^2}}}=1,說明P點是橢圓\frac{x^2}{{9+9{λ^2}}}+\frac{y^2}{{4+4{λ^2}}}=1上的點,設該橢圓的左、右焦點為M、N,則由橢圓的定義PM+PN=18,得18=2\sqrt{9+9{λ^2}},由此求得λ值.

解答 解:(1)由題設可知:\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}}{c}-c=\frac{4\sqrt{5}}{5}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}}\\{^{2}={a}^{2}-{c}^{2}}\end{array}\right.,解得a=3,c=\sqrt{5},b=2.
∴橢圓標準方程為\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2)則由\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OB},得P(x1+x2,y1+y2).
{k_{AB}}•{k_{OP}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}•\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}=\frac{y_1^2-y_2^2}{x_1^2-x_2^2}=-\frac{4}{9}
由|kAB|∈(0,+∞)得,|{{k_{AB}}}|+|{{k_{OP}}}|≥2\sqrt{|{{k_{AB}}•{k_{OP}}}|}=\frac{4}{3},
當且僅當{k_{AB}}=±\frac{2}{3}時取等號;
(3)∵{k}_{AB}•{k}_{OG}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}•\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}=\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}=-\frac{4}{9}
{k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{4}{9}.∴4x1x2+9y1y2=0.
設P(x,y),則由\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OB},
得(x,y)=(x1,y1)+λ(x2,y2)=(x1+λx2,y1+λy2),
即x=x1+λx2,y=y1+λy2
∵點A、B在橢圓4x2+9y2=36上,
∴4x2+9y2=36+36λ2+2λ(4x1x2+9y1y2).
∴4x2+9y2=36+36λ2
\frac{x^2}{{9+9{λ^2}}}+\frac{y^2}{{4+4{λ^2}}}=1,
∴P點是橢圓\frac{x^2}{{9+9{λ^2}}}+\frac{y^2}{{4+4{λ^2}}}=1上的點,
設該橢圓的左、右焦點為M、N,
則由橢圓的定義PM+PN=18,得18=2\sqrt{9+9{λ^2}}
λ=±2\sqrt{2},M({3\sqrt{5},0})N({-3\sqrt{5},0})
∴存在常數(shù)λ=±2\sqrt{2},和平面內(nèi)兩定點M(3\sqrt{5},0),N(-3\sqrt{5},0),使得動點P滿足PM+PN=18.

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì),考查了直線與圓錐曲線位置關系的應用,訓練了絕對值不等式在求解最值中的應用,考查存在性問題的求解方法,是壓軸題.

練習冊系列答案
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⑤f(x)無最大值,也無最小值.
其中正確結論的序號是( �。�
A.①②B.①③④C.③④D.①②⑤
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