Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+）（x∈R），且．
（1）求ω的最小正值及此時(shí)函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式；
（2）將（1）中所得函數(shù)y=f（x）的圖象結(jié)果怎樣的變換可得的圖象；
（3）在（1）的前提下，設(shè)，，，，f（β）=-，
①求tanα的值；
②求cos2（α-β）-1的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將x用代替，求出正弦為1的所有角，求出其中的最小值．
（2）據(jù)圖象的平移規(guī)律：左加右減；伸縮變換的規(guī)律：橫坐標(biāo)變?yōu)樽宰兞縳的乘的數(shù)的倒數(shù)；若三角函數(shù)符號(hào)前乘的數(shù)為A，則縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍．
（3）利用三角函數(shù)的平方關(guān)系求出的余弦，利用商數(shù)關(guān)系求出的正切；由于
利用兩角和的正弦公式求出sin（α-β），再利用二倍角公式求出值．
解答：解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103175021687358588/SYS201311031750216873585018_DA/4.png">，所以，
于是ω•，即ω=1+12k（k∈Z），
故當(dāng)k=0時(shí)，ω取得最小正值1．
此時(shí)．
（2）先將的圖象向右平移個(gè)單位得y=sinx的圖象；
再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）得y=sinx的圖象；
最后將所得圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮小到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變）得y=x的圖象．
（3）因?yàn)閒（α）=，
所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103175021687358588/SYS201311031750216873585018_DA/15.png">，
所以α+．
于是．
①因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103175021687358588/SYS201311031750216873585018_DA/18.png">，
所以=．
②因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103175021687358588/SYS201311031750216873585018_DA/21.png">==，
所以cos2（α-β）-1=-2sin²（α-β）=-2×．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的同角三角函數(shù)的公式，三角函數(shù)的二倍角公式．
將未知的角用已知的角表示，從而將未知的三角函數(shù)用已知的三角函數(shù)表示．