Question

現(xiàn)需要對某旅游景點進一步改造升級，提高旅游增加值，經(jīng)過市場調(diào)查，旅游增加值y萬元與投入x萬元之間滿足y=

51

50

x-ax2-ln

x

10

，且

x

2x-12

∈[t，+∞），其中為大于

1

2

的常數(shù)．當(dāng)x=10時，y=9.2．
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式和投入x的取值范圍；
（Ⅱ）求旅游增加值y取得最大值時對應(yīng)的x值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）將x=10時，y=9.2代入解析式中即可求得a的值，再由t＞

1

2

得出x的取值范圍；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，對t的取值范圍進行討論，求出單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值．

解答： 解：（Ⅰ）因當(dāng)x=10時，y=9.2，即

51

50

×10-a×102-ln1=9.2，解得a=

1

100

．
所以f(x)=

51

50

x-

x2

100

-ln

x

10

，
又因為

x

2x-12

≥t，且t＞

1

2

，解得6＜x≤

12t

2t-1

即投入x的取值范圍是(6，

12t

2t-1

]．
（Ⅱ）對f（x）求導(dǎo)，得f′(x)=

51

50

-

x

50

-

1

x

=-

x2-51x+50

50x

=-

(x-1)(x-50)

50x

，
又因為x＞6，所以從廣義上講有，
當(dāng)6＜x＜50時，f'（x）＞0，即f（x）遞增，當(dāng)x＞50時，f'（x）＜0，即f（x）遞減．
所以當(dāng)x=50時為極大值點，也是最大值點，于是
①當(dāng)

12t

2t-1

≥50，即t∈(

1

2

，

25

44

]時，投入50萬元改造時取得最大增加值； 
②當(dāng)6＜

12t

2t-1

＜50時，即t∈(

25

44

，+∞)時，投入

12t

2t-1

萬元改造時取得最大增加值．

點評：本題考查了，運用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最值，分類討論數(shù)學(xué)思想，是一道導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題．屬于中檔題．