Question

已知函數(shù)y=

3

sin2x+cos2x+

1

2

（x∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)y的最大值及y取最大值時(shí)x的集合；
（Ⅱ）求函數(shù)y的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）化簡(jiǎn)可得y=2sin(2x+

π

6

)+

1

2

，由三角函數(shù)的性質(zhì)易得最值和x值；
（Ⅱ）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

解不等式可得單調(diào)遞減區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）化簡(jiǎn)可得y=

3

sin2x+cos2x+

1

2

=2sin(2x+

π

6

)+

1

2

，
∵x∈R，∴2x+

π

6

∈R
∴函數(shù)y的最大值是2+

1

2

=

5

2

，此時(shí)2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

6

∴y取最大值時(shí)x的取值集合是{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知y=2sin(2x+

π

6

)+

1

2

，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

可解得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，
∴函數(shù)y的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的恒等變換，涉及三角函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬基礎(chǔ)題．