若函數(shù)f（x）=ax3+x，
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使f（x）在R上是增函數(shù)．
（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使f（x）恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間．
分析：求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=3ax2+1，
（1）f（x）在R上是增函數(shù)，則f′（x）=3ax2+1≥0在R上恒成立；
（2）f（x）恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則f′（x）=3ax2+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
故可求得結(jié)論．
解答：解：求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=3ax2+1，
（1）f（x）在R上是增函數(shù)，∴f′（x）=3ax2+1≥0在R上恒成立，
當(dāng)x=0時(shí)，a∈R；當(dāng)x≠0時(shí)，3a≥-
1
x2
，∴a≥0；
綜上知，a≥0；
（2）f（x）恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則f′（x）=3ax2+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=0-12a＞0
∴a＜0
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是將所求問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

①命題“對(duì)任意的x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是“存在x∈R，x3-x2+1＞0”；
②函數(shù)f（x）=2x-x2的零點(diǎn)有2個(gè)；
③若函數(shù)f（x）=x2-|x+a|為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=0；
④函數(shù)y=sinx（x∈[-π，π]）圖象與x軸圍成的圖形的面積是S=
∫
x
-x
sinxdx；
⑤若函數(shù)f（x）=
ax-5(x＞6)
(4-
a
2
)x+4(x≤6)
，在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（1，8）．
其中真命題的序號(hào)是
①③
①③
（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于函數(shù)f（x），其定義域?yàn)镈，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（
x1+x2
2
）＞
1
2
[f（x1）+f（x2）]，則稱f（x）為定義域上的凸函數(shù)．
（1）設(shè)f（x）=ax2（a＞0），試判斷f（x）是否為其定義域上的凸函數(shù)，并說(shuō)明原因；
（2）若函數(shù)f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）為其定義域上的凸函數(shù)，試求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若函數(shù)f（x）=ax（a＞0，a≠1）的反函數(shù)記為y=g（x），g（16）=2，則f(
12
)=
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若函數(shù)f（x）=ax-2+2010（a＞0且a≠1）恒過(guò)一定點(diǎn)，此定點(diǎn)坐標(biāo)為
（2，2011）
（2，2011）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•盧灣區(qū)一模）若函數(shù)f（x）=ax+b的零點(diǎn)為x=2，則函數(shù)g（x）=bx2-ax的零點(diǎn)是x=0和x=
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1
2
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1
2
．

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