Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分別為A、B、C的對(duì)邊，

3

c=2asin（A+B），f（

B

2

）=-1，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的形狀判斷,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專(zhuān)題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）由圖象可得A=2，得到周期T=π，由周期公式可得ω=2，再將（

π

6

，0）代入函數(shù)式，即可得到φ；
（Ⅱ）運(yùn)用正弦定理和誘導(dǎo)公式，可得A，再由f（

B

2

）=-1，可得B，進(jìn)而得到C，即可判斷三角形的形狀．

解答： 解：（Ⅰ）由圖象可得，A=2，T=（

11π

12

-

π

6

）×

4

3

=π，
ω=

2π

T

=2，將（

π

6

，0）代入f（x）=2sin（2x+φ），得sin（

π

3

+φ）=0，
則

π

3

+φ=kπ，即φ=kπ-

π

3

，k∈Z，
由于|φ|＜

π

2

，則φ=-

π

3

．
則有f（x）=2sin（2x-

π

3

）；
（Ⅱ）由正弦定理得，

3

c=2asin（A+B），
即為

3

sinC=2sinAsinC，
即有sinA=

3

2

，則A=

π

3

或

2π

3

．
f（

B

2

）=2sin（B-

π

3

）=-1，即sin（B-

π

3

）=-

1

2

，
又B-

π

3

∈（-

π

3

，

2π

3

），即B-

π

3

=-

π

6

，B=

π

6

，
當(dāng)A=

π

3

，C=

π

2

，此時(shí)△ABC為直角三角形，
當(dāng)A=

2π

3

時(shí)，B=C=

π

6

，此時(shí)△ABC為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的圖象和解析式的求法，考查正弦定理的運(yùn)用，考查誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)值的求法，屬于中檔題．