Question

（本題滿分12分）

設(shè)函數(shù)，，是的一個(gè)極大值點(diǎn)．

   （Ⅰ）若，求的取值范圍；

   （Ⅱ） 當(dāng)是給定的實(shí)常數(shù)，設(shè)是的3個(gè)極值點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)，可找到，使得的某種排列（其中=）依次成等差數(shù)列?若存在，求所有的及相應(yīng)的；若不存在，說明理由．

Answer 1

解析：本題主要考查函數(shù)極值的概念、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用及等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力、分類討論等綜合解題能力和創(chuàng)新意識(shí)．

   （Ⅰ）解：時(shí)，，

，

令，，

設(shè)是的兩個(gè)根，

   （1）當(dāng)或時(shí)，則不是極值點(diǎn)，不合題意；

   （2）當(dāng)且時(shí)，由于是的極大值點(diǎn)，故

 ，即，

(Ⅱ)解：，

令，

，

于是，假設(shè)是的兩個(gè)實(shí)根，且

由（Ⅰ）可知，必有，且是的三個(gè)極值點(diǎn)，

則，

假設(shè)存在及滿足題意，

（1）當(dāng)?shù)炔顣r(shí)，即時(shí)，

則或，

于是，即

此時(shí)

或

   （2）當(dāng)時(shí)，則或

①若，則，

于是，

即

兩邊平方得，

于是，

此時(shí)，

此時(shí)=

②若，則，

于是，

即

兩邊平方得，

于是，

此時(shí)

此時(shí)

綜上所述，存在b滿足題意，

當(dāng)b=－a－3時(shí)，，

時(shí)，，

時(shí)，.