Question

函數y=x²的曲線上點A處的切線與直線3x-y+1=0的夾角為45°，則點A的坐標為

 

．

Answer 1

分析：設出切點A的坐標，求出y的導函數，把A點的橫坐標代入y的導函數中求出切線的斜率，又直線3x-y+1=0的斜率為3，根據夾角公式列出方程求出A點的橫坐標，把A的橫坐標代入曲線方程中即可得到A的縱坐標，寫出A的坐標即可．

解答：解：設點A的坐標為（x₀，y₀），
則y′|_x=x0=2x|_x=x0=2x₀=k₁，又直線3x-y+1=0的斜率k₂=3．
∴tan45°=1=

|k2-k1|

|1++k2k1|

=|

3-2x0

1+6x0

|．解得x₀=

1

4

或x₀=-1．
將x₀=

1

4

或x₀=-1分別代入到y═x²中得到y₀=

1

16

或y₀=1，
所以A點坐標為（

1

4

，

1

16

）或（-1，1）．
故答案為：（

1

4

，

1

16

）或（-1，1）

點評：考查學生會利用導數求切線的斜率，靈活運用兩直線夾角的公式化簡求值．