Question

4．已知集合U=R，A={x|y=$\sqrt{lo{g}_{2}（x-1）}$}，B={y|y=（$\frac{1}{2}$）^x+1，-2≤x≤-1}，C={x|x＜a-1}．
（1）求A∩B；
（2）若C⊆∁_UA，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出A中x的范圍確定出A，求出B中y的范圍確定出B，找出兩集合的交集即可；
（2）求出A的補集，由C為A補集的子集，確定出a的范圍即可．

解答 解：（1）由A中y=$\sqrt{lo{g}_{2}（x-1）}$，得到log₂（x-1）≥0=log₂1，即x-1≥1，
解得：x≥2，即A=[2，+∞），
由B中y=（$\frac{1}{2}$）^x+1，-2≤x≤-1，得到3≤y≤5，即B=[3，5]，
則A∩B=[3，5]；
（2）∵A=[2，+∞），∴∁_UA=（-∞，2），
∵C=（-∞，a-1），且C⊆∁_UA，
∴a-1≤2，即a≤3，
則實數a的取值范圍是（-∞，3]．

點評 此題考查了交集及其運算，集合的包含關系判斷及應用，以及補集及其運算，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵．