Question

19．如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面垂直，AA₁=AB=AC=l，AB⊥AC，M是CC₁的中點，N是BC的中點，點P在直線A₁B₁上，且滿足$\overrightarrow{{A_1}P}$=λ$\overrightarrow{{A_1}{B_1}}$．
（I）當λ≠1時，求證：直線BC₁∥面PMN；
（ II）當λ=1時，求三棱錐A₁-PMN的體積．

Answer 1

分析 （I）連結BC₁，則MN∥BC₁，由此能證明BC₁∥平面PMN．
（ II）λ=1時，點P與B₁重合，${S}_{△PMN}={S}_{矩形BC{C}_{1}{B}_{1}}$-（S_△CMN+${S}_{△{D}_{1}DN}$+${S}_{△{B}_{1}{C}_{1}M}$），連結AN，A₁到平面PMN的距離d=AN，由此能求出三棱錐A₁-PMN的體積．

解答 證明：（I）連結BC₁，
∵M、N是CC₁和BC的中點，
∴MN∥BC₁，
又∵λ≠1，∴BC₁?平面PMN，
∴BC₁∥平面PMN．
解：（ II）λ=1時，點P與B₁重合，
∵AB⊥AC，∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△PMN}={S}_{矩形BC{C}_{1}{B}_{1}}$-（S_△CMN+${S}_{△{D}_{1}DN}$+${S}_{△{B}_{1}{C}_{1}M}$）
=$\sqrt{2}×1-（\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×1+\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{1}{2}）$
=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，
連結AN，∵AB=AC，N是BC的中點，
∴AN⊥BC，
又由條件CC₁⊥平面ABC，∴CC₁⊥AN，
又CC₁∩BC=C，CC₁和BC?面BB₁C₁C，
∴AN⊥面BB₁C₁C，
又AA₁∥面BB₁C₁C，
∴A₁到平面PMN的距離d=AN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴三棱錐A₁-PMN的體積${V}_{{A}_{1}-PMN}$=$\frac{1}{3}•{S}_{△PMN}•AN=\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{2}}{8}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{8}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．