Question

8．已知△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若△ABC的面積是$\frac{1}{2}$c²，則$\frac{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}}{ab}$的最大值為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由余弦定理得a²+b²=c²-2abcosC，由面積公式可得c²=absinC，從而得出$\frac{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}}{ab}$關(guān)于C的函數(shù)，求出此函數(shù)的最大值即可．

解答 解：∵在△ABC中，S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}{c}^{2}$，∴c²=absinC．
由余弦定理得a²+b²-c²=2abcosC，∴a²+b²=c²+2abcosC，
∴$\frac{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}}{ab}$=$\frac{2{c}^{2}+2abcosC}{ab}$=2sinC+2cosC=2$\sqrt{2}$sin（C+$\frac{π}{4}$）．
∴當(dāng)C=$\frac{π}{4}$時(shí)，$\frac{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}}{ab}$取得最大值2$\sqrt{2}$．
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．