Question

13．如圖，圓錐的底面半徑r=1，母線長為4．
（1）求圓錐內切球的表面積；
（2）當D是母線PA的中點時，求從點A開始，繞圓錐側面一周到達點D最短線的長度．

Answer 1

分析 （1）利用等面積求出球的半徑，即可求圓錐內切球的表面積；
（2）要求從點A開始，繞圓錐側面一周到達點D最短線的長度，需將圓錐的側面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結果．

解答 解：（1）由題意，PC=$\sqrt{15}$，
設圓錐內切球的半徑為r，則$\frac{1}{2}×2×\sqrt{15}=\frac{1}{2}×（2+4+4）r$，
∴r=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴圓錐內切球的表面積S=$4π•\frac{15}{25}$=$\frac{12π}{5}$；
（2）根據(jù)題意，將該圓錐展開如下圖所示的扇形，則線段AB就是從點A開始，繞圓錐側面一周到達點D最短線的長度．
因為圓錐的底面圓的周長=扇形的弧長，
所以扇形的弧長l=2πr=2π=4|α|
所以圓心角|α|=$\frac{π}{2}$，
在RT△APM中，AB=$\sqrt{16+4}$=2$\sqrt{5}$
所以從點A開始，繞圓錐側面一周到達點D最短線的長度為2$\sqrt{5}$．

點評 此題是平面展開圖--最短路程問題，考查了圓錐的側面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．本題就是把圓錐的側面展開成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．