Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），x∈（-1，1）．判斷命題|f（x）|≥2|x|是否正確．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),對數(shù)的運算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-2x，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與奇偶性，判斷g（x）=f（x）-2x≥0，是否成立，從而判斷|f（x）|≥2|x|是否成立．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），x∈（-1，1）；
∴當(dāng)x∈[0，1）時，|f（x）|≥2|x|?f（x）-2x≥0，
令g（x）=f（x）-2x=ln（1+x）-ln（1-x）-2x，x∈[0，1）；
∵g′（x）=

1

1+x

+

1

1-x

-2=

2x2

1-x2

≥0，
∴g（x）在[0，1）上單調(diào)遞增，
∴g（x）=f（x）-2x≥g（0）=0，
∴f（x）≥2x；
又∵f（x）與y=2x為奇函數(shù)，
∴|f（x）|≥2|x|在x∈（-1，1）上成立，
即|f（x）|≥2|x|是正確的．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用問題，也考查了不等式的應(yīng)用問題，是綜合性題目．