Question

已知曲線x²+y²-4x-2y-k=0表示的圖象為圓．
（1）若k=15，求過(guò)該曲線與直線x-2y+5=0的交點(diǎn)，且面積最小的圓的方程．
（2）若該圓關(guān)于直線x+y-4=0的對(duì)稱(chēng)圓與直線6x+8y-59=0相切，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)圓心A坐標(biāo)并把k代入已知方程配方后求A的坐標(biāo)，由A在x-2y+5=0上時(shí)此圓的面積最小，兩個(gè)圓心的連線與直線垂直，利用斜率之積等于-1和A在直線上列出方程組求圓心的坐標(biāo)，再利用弦心距、半徑和弦的一半關(guān)系求出半徑；
（2）根據(jù)兩個(gè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)關(guān)系，求出對(duì)稱(chēng)圓心的坐標(biāo)，再由對(duì)稱(chēng)圓與6x+8y-59=0相切，即圓心到直線的距離等于半徑求出圓的半徑r，即

16+4-4(-k) 2

=

5

2

再求出k．

解答：解：（1）設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為A（x₀，y₀）
當(dāng)k=15時(shí)，代入x²+y²-4x-2y-k=0，化簡(jiǎn)得（x-2）²+（y-1）²=20，
∴圓心B（2，1），到直線x-2y+5=0的距離為

|2-2+5|

1+4

=

5

，
當(dāng)相交弦為所求圓的直徑時(shí)，圓的面積最小，即圓心A在直線x-2y+5=0上；
則

x°-2y°+5=0 y°-1 x°-2 =-2

，解得

x°=1 y°=3

，r=

(2 5 )2- 5 2

=

15

∴所求圓的方程為：（x-1）²+（y-3）²=15
（2）設(shè)圓心B（2，1）關(guān)于y=-x+4的對(duì)稱(chēng)圓的圓心為C（x，y），
∴

y+1 2 =- x+2 2 +4 y-1 x-2 =1

，解得x=3，y=2；則 C（3，2）
∵對(duì)稱(chēng)圓C與直線6x+8y-59=0相切，
∴點(diǎn)（3，2）到6x+8y-59=0的距離為

|6×3+8×2-59|

62+82

=

5

2

即r=

5

2

由x²+y²-4x-2y-k=0得

16+4-4(-k) 2

=

5

2

解得，k=

5

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓與直線的綜合問(wèn)題，利用弦心距、半徑和弦的一半構(gòu)成直角三角形，兩個(gè)圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)時(shí)有半徑相等和圓心對(duì)稱(chēng)關(guān)系及相切的條件求出半徑，再求出k的值．