Question

（2007•浦東新區(qū)二模）已知直線l：y=-x+b與拋物線y²=4x相交于A、B兩點，|AB|=8．
（1）求直線l的方程；
（2）求拋物線上橫坐標為1的點D與點A、B構(gòu)成的△DAB的面積；
（3）設(shè)P（x，y）是拋物線上的動點，試用x或y來討論△PAB面積S的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把直線l的方程與拋物線方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用弦長公式即可得出；
（2）把x=1代入拋物線方程即可得出點D的坐標，再利用點到直線的距離公式即可得出點D到直線l的距離，再利用三角形的面積計算公式即可得出；
（3）設(shè)與直線y=-x+1平行且距離為

2

的直線為y=-x+t，得t=-1或3，求出y=-x-1與 y ²=4 x的交點，y=-x+3與y ²=4 x的交點，y=-x+1與y²=4x的交點．
進而得出面積的取值范圍．

解答：解：（1）把y=-x+b代入y²=4x得x²-2（b+2）x+b²=0．
令△＞0，得b＞-1．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

2

(x1+x2)2-4x1x2

=8，
∴

b+1

=

2

，b=1，
∴直線的方程為y=-x+1．
（2）設(shè)D （1，y₀），代入y ²=4x，得y₀=±2．
因此得到D點坐標：D （1，2 ） 或D′（1，-2）
點D（D′）到直線y=-x+1的距離d=

|1±2-1|

2

=

2

．
∴△DAB的面積為4

2

．
（3）設(shè)與直線y=-x+1平行且距離為

2

的直線為y=-x+t，得t=-1或3，
y=-x-1與 y ²=4 x的交點僅有一個為 （1，-2），
y=-x+3與y ²=4 x的交點為 （1，2），（9，-6）．
y=-x+1與y²=4x的交點為(3-2

2

，-2+2

2

)，(3+2

2

，-2-2

2

)
∴當y_P∈{-2，2，-6}時，S=4

2

．
當yP∈(-6，-2-2

2

)∪(-2-2

2

，-2)∪(-2，-2+2

2

)∪(-2+2

2

，2)時，S∈(0，4

2

)．
當y_P∈（-∞，-6）∪（2，+∞）時，S∈(4

2

，+∞)．

點評：熟練掌握直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式、分類討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵．