已知數(shù)列{an}中,a1=
1
2
,且當x=
1
2
時,函數(shù)f(x)=
1
2
anx2-an+1•x
取得極值.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)數(shù)列{bn}滿足:b1=2,bn+1-2bn=
1
an+1
,證明:{
bn
2n
}
是等差數(shù)列,并求數(shù)列{bn}的通項公式通項及前n項和Sn
分析:(I)由當x=
1
2
時,函數(shù)f(x)=
1
2
anx2-an+1•x
取得極值,先求出函數(shù)f(x)=
1
2
anx2-an+1•x
的導數(shù),得
f′(x)=an•x-an+1,再由x=2時,導數(shù)為0得
1
2
an=an+1
,進而用等比數(shù)列的通項公式去求.
(Ⅱ)可通過證明數(shù)列{
bn
2n
}
的后一項減前一項是同一常數(shù),來證明明數(shù)列{
bn
2n
}
是等差數(shù)列.再用錯位相減法求和.
解答:解:(Ⅰ)f′(x)=an•x-an+1(1分)
由題意f′(
1
2
)=0
1
2
an=an+1
(3分)
∴數(shù)列{an}是首項為
1
2
,公比為
1
2
的等比數(shù)列,∴an=(
1
2
)n
(5分)
(Ⅱ)由(1)知bn+1-2bn=2n+1,∴bn+1=2bn+2n+1
bn+1
2n+1
-
bn
2n
=
2n+1
2n+1
=1

{
bn
2n
}
是以1為首項,1位公差的等差數(shù)列(7分)
bn
2n
=1+(n-1)=n
,∴bn=n•2n(8分)
Sn=1•2+2•22++n•2n,2Sn=1•22++(n-1)•2n+n•2n+1
兩式相減得:-Sn=2+22++2n-n•2n+1=(1-n)•2n+1-2(11分)
∴Sn=(n-1)•2n+1+2(12分)
點評:此題主要考查了數(shù)列通項公式的求法,以及錯位相減法求數(shù)列和,做題時要認真審題,發(fā)現(xiàn)規(guī)律.
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相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)
,則
lim
n→∞
an
=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=
an
1+2an
,則{an}的通項公式an=
1
2n-1
1
2n-1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{
2n
an
}
的前n項和Tn

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=
1
2
,Sn
為數(shù)列的前n項和,且Sn
1
an
的一個等比中項為n(n∈N*
),則
lim
n→∞
Sn
=
1
1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,則數(shù)列{an}的通項公式為( 。
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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