Question

1．已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，a₁=2且4S_n=a_n•a_n+1，（n∈N^*），數(shù)列{b_n}中，b₁=$\frac{1}{4}$，且b_n+1=$\frac{n_{n}}{（n+1）-_{n}}$（n∈N^*），設(shè)c_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{\frac{1}{3_{n}}+\frac{2}{3}}}$，則{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 a₁=2且4S_n=a_n•a_n+1，（n∈N^*），n=1時(shí)，解得a₂=4．當(dāng)n≥2時(shí)，利用遞推關(guān)系可得a_n+1-a_n-1=4．于是數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)都成等差數(shù)列，公差為4．即可得出a_n．
數(shù)列{b_n}中，b₁=$\frac{1}{4}$，且b_n+1=$\frac{n_{n}}{（n+1）-_{n}}$（n∈N^*），兩邊取倒數(shù)化為：$\frac{1}{（n+1）_{n+1}}$-$\frac{1}{n_{n}}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}$．利用“累加求和”與“裂項(xiàng)求和”方法即可得出b_n，于是c_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$，再利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：a₁=2且4S_n=a_n•a_n+1，（n∈N^*），∴4a₁=a₁•a₂，解得a₂=4．
當(dāng)n≥2時(shí)，4a_n=4（S_n-S_n-1）=a_n•a_n+1-a_n-1a_n，a_n≠0．
∴a_n+1-a_n-1=4．
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)都成等差數(shù)列，公差為4．
∴a_n=a_2k-1=2+4（k-1）=4k-2=2n，
a_n=a_2k=4+4（k-1）=4k=2n．
可得?n∈N^*，a_n=2n．
數(shù)列{b_n}中，b₁=$\frac{1}{4}$，且b_n+1=$\frac{n_{n}}{（n+1）-_{n}}$（n∈N^*），
兩邊取倒數(shù)化為：$\frac{1}{（n+1）_{n+1}}$-$\frac{1}{n_{n}}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}$．
∴$\frac{1}{n_{n}}$=$（\frac{1}{n_{n}}-\frac{1}{（n-1）_{n}}）$+$（\frac{1}{（n-1）_{n-1}}-\frac{1}{（n-2）_{n-2}}）$+…+$（\frac{1}{2_{2}}-\frac{1}{_{1}}）$+$\frac{1}{_{1}}$
=$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}）$+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n-2}）$+…+$（\frac{1}{2}-1）$+4
=$\frac{1}{n}$+3．
可得：b_n=$\frac{1}{3n+1}$．
∴c_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{\frac{1}{3_{n}}+\frac{2}{3}}}$=$\frac{2n}{{2}^{\frac{1+3n}{3}+\frac{2}{3}}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
則{c_n}的前n項(xiàng)T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$．
∴T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．
故答案為：2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”與“累加求和”方法、“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的相同公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．