Question

16．已知定義在區(qū)間[-π，$\frac{2}{3}$π]上的函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}$）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=-$\frac{π}{6}$對(duì)稱(chēng)，當(dāng)x∈$[-\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$時(shí)，f（x）的圖象如圖所示．
（1）求f（x）在$[-π，\frac{2}{3}π]$上的表達(dá)式；
（2）求方程f（x）=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的解．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的圖象求出A、T和ω、φ的值，寫(xiě)出函數(shù)的解析式；
（2）由解析式可得函數(shù)在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]的解，再結(jié)合對(duì)稱(chēng)性得出函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間內(nèi)的解．

解答 解：（1）由圖知：A=1，T=4（$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=2π，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=1，
當(dāng)x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]時(shí)，將（$\frac{π}{6}$，1）代入f（x）得
f（$\frac{π}{6}$）=sin（$\frac{π}{6}$+φ）=1，
又0＜φ≤π，
∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴當(dāng)x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]時(shí)，f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）；
同理可得當(dāng)x∈[-π，-$\frac{π}{6}$]時(shí)，f（x）=sin（x+π）=-sinx；
綜上，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sin（x+\frac{π}{3}），x∈[-\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]}\\{-sinx，x∈[-π，-\frac{π}{6}）}\end{array}\right.$；
（2）由f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，當(dāng)x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]時(shí)，sin（x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得x₁=$\frac{5π}{12}$，x₂=-$\frac{π}{12}$，
∵y=f（x）圖象關(guān)于直線(xiàn)x=-$\frac{π}{6}$對(duì)稱(chēng)，
∴x₃=2×（-$\frac{π}{6}$）-（-$\frac{π}{12}$）=-$\frac{π}{4}$，
x₄=2×（-$\frac{π}{6}$）-$\frac{5π}{12}$=-$\frac{3π}{4}$，
綜上，方程f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$的解為：$\frac{5π}{12}$，-$\frac{π}{12}$，-$\frac{π}{4}$，-$\frac{3π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)解析式的確定以及分類(lèi)討論思想和函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題，是中檔題．