(本小題滿分14分)
如圖5,在三棱柱
中,側(cè)棱
底面
,
為
的中點(diǎn),
.
(1) 求證:
平面
;
(2)若四棱錐
的體積為
,求二面角
的正切值.
圖5
(本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角的平面角、錐體的體積等知識(shí), 考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力)
(1)證明:連接
,設(shè)
與
相交于點(diǎn)
,連接
,
∵ 四邊形
是平行四邊形,
∴點(diǎn)
為
的中點(diǎn).
∵
為
的中點(diǎn),
∴
為△
的中位線,
∴
. …… 2分
∵
平面
,
平面
,
∴
平面
. …… 4分
(2)解: 依題意知,
,
∵
平面
,
平面
,
∴ 平面
平面
,且平面
平面
.
作
,垂足為
,則
平面
, ……6分
設(shè)
,
在Rt△
中,
,
,
∴四棱錐
的體積
. …… 8分
依題意得,
,即
. …… 9分
(以下求二面角
的正切值提供兩種解法)
解法1:∵
,
平面
,
平面
,
∴
平面
.
取
的中點(diǎn)
,連接
,則
,且
.
∴
平面
.
作
,垂足為
,連接
,
由于
,且
,
∴
平面
.
∵
平面
,
∴
.
∴
為二面角
的平面角. …… 12分
由Rt△
~Rt△
,得
,
得
,
在Rt△
中,
.
∴二面角
的正切值為
. …… 14分
解法2: ∵
,
平面
,
平面
,
∴
平面
.
以點(diǎn)
為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以
,
,
所在直線為
軸,
軸和
軸,建立空間直角坐標(biāo)系
.
則
,
,
,
.
∴
,
設(shè)平面
的法向量為
,
由
及
,得
令
,得
.
故平面
的一個(gè)法向量為
, …… 11分
又平面
的一個(gè)法向量為
,
∴
,
. …… 12分
∴
,
. …… 13分
∴
,
.
∴二面角
的正切值為
. …… 14分
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
(本小題13分)如圖,在四棱錐
中,
底面
是矩形,側(cè)棱PD⊥底面
,
,
是
的中點(diǎn),作
⊥
交
于點(diǎn)
.
(1)證明:
∥平面
;
(2)證明:
⊥平面
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖所示,在正三棱柱
中,
,
,
是
的中點(diǎn),
在線段
上且
.(I)證明:
面
;
(II)求二面角
的大。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
(本題14分)如圖,在四棱錐
中,底面
是邊長(zhǎng)為1的菱形,
,
,
,
為
的中點(diǎn),
為
的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:
;
(Ⅱ)求異面直線
與
所成角的大;
(Ⅲ)求點(diǎn)
到平面
的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分14分)
如圖,四棱錐
P-ABCD中,底面
ABCD為菱形,且
,側(cè)面
PAD是正三角形,其所在的平面垂直于底面
ABCD,點(diǎn)
G為
AD的中點(diǎn).
(1)求證:
BG面
PAD;
(2)
E是
BC的中點(diǎn),在
PC上求一點(diǎn)
F,使得
PG面
DEF.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分14分)如圖,在四棱錐
中,底面
是邊長(zhǎng)為
的正方形,
、
分別為
、
的中點(diǎn),側(cè)面
,且
.
(1)求證:
∥平面
;(2)求三棱錐
的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:單選題
.設(shè)地球半徑為R,如果A、B兩點(diǎn)在北偉
30°的緯線上,它們的經(jīng)度差為
,則A、B兩點(diǎn)的球面距離為 ( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
如圖,在四棱錐P—ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB//DC,∠BCD=90°,E為棱PC上異于C的一點(diǎn),DE⊥BE
(1)證明:E為PC的中點(diǎn);
(2)求二面角P—DE—A的大小
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:填空題
.已知
S、
A、
B、
C是球
O表面上的四個(gè)點(diǎn),
SA⊥平面
ABC,
AB⊥
BC,
SA=2,
AB=
BC=
,則球
O的表面積為_(kāi)______.
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