Question

6．某工廠組織工人技能培訓，其中甲、乙兩名技工在培訓時進行的5次技能測試中的成績?nèi)鐖D莖葉圖所示．
（1）現(xiàn)要從中選派一人參加技能大賽，從這兩名技工的測試成績分析，派誰參加更合適；
（2）若將頻率視為概率，對選派參加技能大賽的技工在今后三次技能大賽的成績進行預測，記這三次成績中高于85分的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由莖葉圖分別求出甲、乙兩人的平均數(shù)和方差，由此能求出結果．
（Ⅱ）甲高于85分的頻率為$\frac{4}{5}$，每次成績高于85分的概率$p=\frac{4}{5}$，由題意知ξ=0，1，2，3，由此能求出ξ的分布列及數(shù)學期望．

解答 解：（Ⅰ）$\overline{x_甲}=\frac{74+86+87+91+92}{5}=86，\overline{x_乙}=\frac{77+86+83+87+97}{5}=86$．
（2分）$s_甲^2=\frac{1}{5}[{（74-86）^2}+{（86-86）^2}+{（87-86）^2}+{（91-86）^2}+{（92-86）^2}]=41.2$，
$s_乙^2=\frac{1}{5}[{（77-86）^2}+{（86-86）^2}+{（83-86）^2}+{（87-86）^2}+{（97-86）^2}]=42.5$．（4分）
∵$\overline{{x_{甲}}}=\overline{x_乙}，s_甲^2＜s_乙^2$，∴派甲去更合適．（6分）
（Ⅱ）甲高于85分的頻率為$\frac{4}{5}$，
∴每次成績高于85分的概率$p=\frac{4}{5}$，
由題意知ξ=0，1，2，3，
$P（ξ=0）=C_3^0{（\frac{4}{5}）^0}{（1-\frac{4}{5}）^3}=\frac{1}{125}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{4}{5}）（1-\frac{4}{5}）^{2}$=$\frac{12}{125}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{4}{5}）^{2}（1-\frac{4}{5}）$=$\frac{48}{125}$，
$P（ξ=3）=C_3^3{（\frac{4}{5}）^3}{（1-\frac{4}{5}）^0}=\frac{64}{125}$（10分）
∴ξ分布列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{64}{125}$

$Eξ=0×\frac{1}{125}+1×\frac{12}{125}+2×\frac{48}{125}+3×\frac{64}{125}=\frac{12}{5}$（12分）

點評 本題考查莖葉圖的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．