Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，側面PAD與底面ABCD垂直，E為PA的中點．

（1）求證：

（2）求證：DE∥平面PBC；

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

試題分析：（1）證明線線垂直時，要注意題中隱含的垂直關系，如等腰三角形的底邊上的高，中線和頂角的角平分線合一、矩形的內角、直徑所對的圓周角、菱形的對角線互相垂直、直角三角形等等；（2）證明線面平行常用方法：一是利用線面平行的判定定理，二是利用面面平行的性質定理，三是利用面面平行的性質；四是利用線面平行的定義，一般用反證法；（3）利用判斷定理證明有關問題時，要把條件寫全，不用漏掉一些條件，注意轉化思想的應用

試題解析：證明：（1）∵AD⊥AB，CD∥AB，

∴ 2分

又∵側面與底面ABCD垂直且交線為，

∴垂直側面 4分

又∵∴ 6分

（2）如圖，取AB的中點F，連接DF，EF．

在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以，

所以四邊形BCDF為平行四邊形，所以DF∥BC 8分

又∵

∴DF∥平面PBC.

在△PAB中，PＥ=EA，AF=FB，所以EF//PB． 9分

又

∴∥平面

又因為，

所以平面∥平面． 11分

因為平面，所以∥平面． 12分

考點：（1）證明直線與直線垂直；（2）證明直線與平面平行.