Question

16．設(shè)$f（x）=\frac{{{x^2}-1}}{lnx}$
（1）求證：f（x）在（0，1）和（1，+∞）上都是增函數(shù)；
（2）設(shè)x＞0且x≠1，a＞$\frac{1}{2}$，求證：af（x）＞x．

Answer 1

分析 （1）求f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），利用f′（x）＞0，判斷f（x）為增函數(shù)；
（2）由af（x）-x，構(gòu)造函數(shù)h（x），利用導(dǎo)數(shù)判斷a＞$\frac{1}{2}$時(shí)函數(shù)的單調(diào)性與極值，從而證明當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$，x＞0且x≠1時(shí)，af（x）＞x成立．

解答 解：（1）證明：由$f（x）=\frac{{{x^2}-1}}{lnx}$，
得f′（x）=$\frac{2xlnx-\frac{{x}^{2}-1}{x}}{{（lnx）}^{2}}$=$\frac{x}{{（lnx）}^{2}}$（2lnx-$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$），（x＞0且x≠1）；
設(shè)g（x）=2lnx-$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，則g′（x）=$\frac{2（x+1）（x-1）}{{x}^{3}}$；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，所以g（x）＞g（1）=0，
于是f′（x）=$\frac{x}{{（lnx）}^{2}}$•g（x）＞0，故f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，所以g（x）＞g（1）=0，
于是f′（x）=$\frac{x}{{（lnx）}^{2}}$•g（x）＞0，故f（x）為增函數(shù)；
綜上，f（x）在（0，1）和（1，+∞）上都是增函數(shù)；
（2）證明：由af（x）-x=$\frac{a{（x}^{2}-1）}{lnx}$-x=$\frac{x}{lnx}$•[$\frac{a{（x}^{2}-1）}{x}$-lnx]，
設(shè)h（x）=$\frac{a{（x}^{2}-1）}{x}$-lnx，（x＞0且x≠1），
則h′（x）=$\frac{{ax}^{2}-x+a}{{x}^{2}}$；
當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，h′（x）=$\frac{{ax}^{2}-x+a}{{x}^{2}}$＞$\frac{{\frac{1}{2}x}^{2}-x+\frac{1}{2}}{{x}^{2}}$=$\frac{{（x-1）}^{2}}{{x}^{2}}$≥0，
則h（x）在（0，1）和（1，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h（x）＜h（1）=0，且lnx＜0，所以af（x）-x=$\frac{x}{lnx}$•h（x）＞0；
當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）＞h（1）=0，且lnx＞0，所以af（x）-x=$\frac{x}{lnx}$•h（x）＞0；
所以當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$，x＞0且x≠1時(shí)，af（x）＞x．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與研究函數(shù)極值的問題，也考查了構(gòu)造函數(shù)法與分類討論思想的應(yīng)用問題，是難題．