Question

已知：函數(shù)f（x）=x³-6x+5，x∈R，
（1）求：函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=a有3個(gè)不同實(shí)根，求：實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）≥k（x-1）恒成立，求：實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于0，求出極值點(diǎn)，再列表判斷極值點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，當(dāng)左正右負(fù)時(shí)有極大值，當(dāng)左負(fù)右正時(shí)有極小值，且在某區(qū)間導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)，此區(qū)間為函數(shù)的增區(qū)間，在某區(qū)間導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)，此區(qū)間為函數(shù)的減區(qū)間．
（2）由（1）知函數(shù)f（x）的大致圖象，然后將關(guān)于x的方程f（x）=a有3個(gè)不同實(shí)根，轉(zhuǎn)化為y=f（x）圖象與直線y=a有3個(gè)不同交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合解決問題
（3）先將f（x）≥k（x-1）恒成立，轉(zhuǎn)化為k≤x²+x-5在（1，+∞）上恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g（x）=x²+x-5在（1，+∞）上的值域即可

解答：解：（1）求函數(shù)f（x）=x³-6x+5的導(dǎo)數(shù)，得f'（x）=3（x²-2），
令f'（x）=0，即3（x²-2）=0，解得x1=-

2

，x2=

2

，
列表討論f′（x）的符號(hào)，得

x	(-∞，- 2 )	- 2	(- 2 ， 2 )	2	( 2 ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，-

2

)，(

2

，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(-

2

，

2

)，
當(dāng)x=-

2

時(shí)，函數(shù)有極大值為5+4

2

，當(dāng)x=

2

時(shí)，函數(shù)有極小值為5-4

2

（2）由（1）的分析可知y=f（x）圖象的大致形狀及走向如圖：
若關(guān)于x的方程f（x）=a有3個(gè)不同實(shí)根，即y=f（x）圖象與直線y=a有3個(gè)不同交點(diǎn)，
由圖數(shù)形結(jié)合可得
5-4

2

＜a＜5+4

2

（3）f（x）≥k（x-1）即（x-1）（x²+x-5）≥k（x-1）．
∵x＞1，∴k≤x²+x-5在（1，+∞）上恒成立，
令g(x)=x2+x-5=(x+

1

2

)2-

21

4

，則g（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴g（x）＞g（1）=-3，
∴k≤-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間和極值的方法，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象解決根的個(gè)數(shù)問題的方法，不等式恒成立問題的解法