Question

20．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，$\frac{5π}{4}$），直線1的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，且點(diǎn)A在直線1上
（1）求a的值及直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）若曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ+sinθ=0，試判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，$\frac{5π}{4}$），直線1的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，且點(diǎn)A在直線1上，代入可得a．把直線1的極坐標(biāo)方程展開(kāi)，代入$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出直角坐標(biāo)方程．
（2）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ+sinθ=0，可得ρ²+ρsinθ=0，可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²+y=0，配方為：${x}^{2}+（y+\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，可得圓心C$（0，-\frac{1}{2}）$，半徑r=$\frac{1}{2}$．求出圓心C到直線l的距離d，把d與r比較即可得出．

解答 解：（1）點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，$\frac{5π}{4}$），直線1的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，且點(diǎn)A在直線1上，
∴$\sqrt{2}cos（\frac{5π}{4}-\frac{π}{4}）$=-$\sqrt{2}$=a，
∴直線1的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{2}$，
展開(kāi)為：$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρcosθ+ρsinθ）$=-$\sqrt{2}$，可得直角坐標(biāo)方程：x+y+2=0．
（2）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ+sinθ=0，可得ρ²+ρsinθ=0，
可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²+y=0，
配方為：${x}^{2}+（y+\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，可得圓心C$（0，-\frac{1}{2}）$，半徑r=$\frac{1}{2}$．
∴圓心C到直線l的距離d=$\frac{|0-\frac{1}{2}+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$$＞\frac{1}{2}$=r．
∴斷直線l與曲線C的位置是相離關(guān)系．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法、直線與圓的位置關(guān)系的判定方法、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．