Question

如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁底面ABCD為菱形，AB=1，AA₁=

6

2

，∠ABC=60°．
（1）求證：AC丄BD₁
（2）求四面體D₁AB₁C的體積．

Answer 1

分析：（1）菱形ABCD中證出AC⊥BD，由直四棱柱的性質(zhì)得BB₁⊥平面ABCD，證出BB₁⊥AC，利用線面垂直判定定理證出AC⊥平面BB₁D₁D，即可得到AC丄BD₁；
（2）利用錐體體積公式，算出三棱錐B₁-ABC的體積等于直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁體積的

1

6

，同理得到三棱錐D₁-ADC的體積、三棱錐A-A₁B₁C₁的體積和
三棱錐C-B₁C₁D₁的體積都等于直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁體積的

1

6

，由此可得四面體D₁AB₁C的體積等于直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁體積的

1

3

，即可算出答案．

解答：解：（1）連結(jié)BD，交AC于O點(diǎn)
∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD
又∵直四棱柱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABCD
∴結(jié)合AC?平面ABCD，得BB₁⊥AC
∵BB₁、BD是平面BB₁D₁D內(nèi)的相交直線，
∴AC⊥平面BB₁D₁D，
∵BD₁?平面BB₁D₁D，∴AC⊥BD₁；
（2）∵菱形ABCD中，AB=1，∠ABC=60°．
∴S_ABCD=AB•BCsin60°=

3

2

∵三棱錐B₁-ABC的底面積等于菱形ABCD的一半，
設(shè)與直四棱柱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁相等，
∴三棱錐B₁-ABC的體積V_B1-ABC=

1

6

V_{ABCD-A1B1C1D1}，
同理可得：V_D1-ADC=V_C-B1C1D1=V_A-A1B1D1=

2

8

因此四面體D₁AB₁C的體積為
V=V_{ABCD-A1B1C1D1}-4×

1

6

V_{ABCD-A1B1C1D1}=

1

3

V_{ABCD-A1B1C1D1}=

1

3

×

3

2

×

6

2

=

2

4

．

點(diǎn)評：本題給出直四棱柱的底面是菱形，求證線線垂直并求四面體的體積．著重考查了直棱柱的性質(zhì)、空間線面垂直的判定與性質(zhì)、錐體和柱體的體積求法等知識，屬于中檔題．