Question

函數(shù)f（x）=cos⁴x-sin⁴x+2sinxcosx+2，（x∈R）
（1）求函數(shù)f（2x）的最小正周期和對稱軸；
（2）求函數(shù)f（x+

π

8

）在區(qū)間[0，

π

3

]的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）用二倍角公式對函數(shù)解析式化簡整理，求得f（2x）的表達(dá)式，進(jìn)而利用三角函數(shù)性質(zhì)求得其最小正周期和對稱軸．
（2）表示出f（x+

π

8

），利用x的范圍和三角函數(shù)的單調(diào)性求得其值域．

解答： 解：（1）f(x)=cos4x-sin4x+2sinxcosx+2=cos2x+sin2x+2=

2

sin(2x+

π

4

)+2
∴f(2x)=

2

sin(4x+

π

4

)+2
∴T=

2π

4

=

π

2

，
要求其對稱軸，則有4x+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，
即對稱軸為x=

kπ

4

+

π

16

，k∈Z
（2）f(x+

π

8

)=

2

sin(2x+

π

2

)+2=

2

cos2x+2，
∵x∈[0，

π

3

]
∴0≤2x≤

2

3

π，
∴-

1

2

≤cos2x≤1
∴2-

2

2

≤

2

cos2x+2≤2+

2

即函數(shù)的值域?yàn)?span id="etp9zwt" class="MathJye">[2-

2

2

，2+

2

]．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．考查了基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用能力．