設(shè)f(x)=1g(
2
1-x
+a)是奇函數(shù),且在x=0處有意義,則該函數(shù)是( 。
A、(-∞,+∞)上的減函數(shù)
B、(-∞,+∞)上的增函數(shù)
C、(-1,1)上的減函數(shù)
D、(-1,1)上的增函數(shù)
分析:由f(0)=0,求得a的值,可得f(x)=lg(
1+x
1-x
),由此求得函數(shù)f(x)的定義域.再根據(jù)f(x)=
lg(-1-
2
x-1
),以及t=-1-
2
x-1
在(-1,1)上是增函數(shù),可得結(jié)論.
解答:解:由于f(x)=1g(
2
1-x
+a)是奇函數(shù),且在x=0處有意義,
故有f(0)=0,即 lg(2+a)=0,解得 a=-1.
故f(x)=1g(
2
1-x
-1)=lg(
1+x
1-x
).
1+x
1-x
>0,求得-1<x<1,故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?1,1).
再根據(jù)f(x)=lg(
1+x
1-x
)=lg(-1-
2
x-1
),函數(shù)t=-1-
2
x-1
在(-1,1)上是增函數(shù),
可得函數(shù)f(x)在(-1,1)上是增函數(shù),
故選 D.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的奇偶性,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=alnx,g(x)=
1
2
x2

(1)記h(x)=f(x)-g(x),若a=4,求h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)記g'(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù),若不等式f(x)+2g'(x)≤(a+3)x-g(x)在x∈[1,e]上有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若在[1,e]上存在一點(diǎn)x0,使得f(x0)-f′(x0)>g′(x0)+
1
g′(x0)
成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=-x3+x2+b,g(x)=alnx.
(1)若f(x)在x∈[-
1
2
,1)
上的最大值為
3
8
,求實(shí)數(shù)b的值;
(2)若對(duì)任意x∈[1,e],都有g(shù)(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)在(1)的條件下,設(shè)F(x)=
f(x),x<1
g(x),x≥1
,對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a,曲線y=F(x)上是否存在兩點(diǎn)P、Q,使得△POQ是以O(shè)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上?請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•泰州二模)已知函數(shù)f(x)=-x3+x2,g(x)=alnx,a∈R.
(1)若對(duì)任意x∈[1,e],都有g(shù)(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求a的取值范圍;
(2)設(shè)F(x)=
f(x),x<1
g(x),x≥1
若P是曲線y=F(x)上異于原點(diǎn)O的任意一點(diǎn),在曲線y=F(x)上總存在另一點(diǎn)Q,使得△POQ中的∠POQ為鈍角,且PQ的中點(diǎn)在y軸上,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•安慶二模)已知函數(shù)f(x)=-x3+x2,g(x)=alnx(a≠0,a∈R).
(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若對(duì)任意x∈[1,e],使得g(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(III)設(shè)F(x)=
f(x),x<1
g(x),x≥1
,曲線y=F(x)上是否總存在兩點(diǎn)P,Q,使得△POQ是以O(shè)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為鈍角柄點(diǎn)的鈍角三角形,且最長(zhǎng)邊的中點(diǎn)在y軸上?請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=-x3+x2,g(x)=alnx,a∈R.
(1)若對(duì)任意x∈[1,e],都有g(shù)(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求a的取值范圍;
(2)設(shè)F(x)=
f(x),x<1
g(x),x≥1
若P是曲線y=F(x)上異于原點(diǎn)O的任意一點(diǎn),在曲線y=F(x)上總存在另一點(diǎn)Q,使得△POQ中的∠POQ為鈍角,且PQ的中點(diǎn)在y軸上,求a的取值范圍.

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