已知函數(shù)f(x)=
13
x3-ax2+(a2-1)x+b(a，b∈R)
（1）若y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0，求f（x）在區(qū)間[-2，4]上的最大值；
（2）當(dāng)a≠0時，若f（x）在區(qū)間（-1，1）上不單調(diào)，求a的取值范圍．
分析：（1）先求f（1），利用（1，f（1））在y=f（x）上，及f'（1）=-1，建立方程，即可求得函數(shù)解析式，進而可得函數(shù)的極值，利用函數(shù)的最值在極值與端點處取得，可得結(jié)論；
（2）因為函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）不單調(diào)，所以函數(shù)f'（x）在（-1，1）上存在零點，利用f'（-1）f'（1）＜0，即可求得a的取值范圍．
解答：解：（1）∵（1，f（1））在x+y-3=0上，∴f（1）=2
∵（1，2）在y=f（x）上，
∴2=
1
3
-a+a2-1+b
又f'（1）=-1，∴1-2a+a2-1=-1
∴a2-2a+1=0，解得a=1，b=
8
3

∴f(x)=
1
3
x2-x2+
8
3
，f′(x)=x2-2x
由f'（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的極值點．
∵f(0)=
8
3
，f(2)=
4
3
，f(-2)=-4，f(4)=8
∴f（x）在區(qū)間[-2，4]上的最大值為8．
（2）因為函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）不單調(diào)，所以函數(shù)f'（x）在（-1，1）上存在零點．
而f'（x）=0的兩根為a-1，a+1，區(qū)間長為2，
∴在區(qū)間（-1，1）上不可能有2個零點．
所以f'（-1）f'（1）＜0，即a2（a+2）（a-2）＜0．
∵a2＞0，∴（a+2）（a-2）＜0，-2＜a＜2．
又∵a≠0，
∴a∈（-2，0）∪（0，2）．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的最值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f'（x）在（-1，1）上存在零點是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x≥1時，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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