Question

8．已知$|\overrightarrow a|=4，|\overrightarrow b|=3，（2\overrightarrow a-3\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）=61$
（1）求$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角θ；
（2）若$\vec c=t\vec a+（1-t）\vec b$，且$\vec b•\vec c=0$，求t及$|{\vec c}|$．

Answer 1

分析 （1）直接展開(kāi)數(shù)量積，代入已知向量的模求得$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角θ；
（2）由$\vec b•\vec c=0$列式求得t值，再由$|\overrightarrow{c}|$=$\sqrt{{\overrightarrow{c}}^{2}}$展開(kāi)求得$|{\vec c}|$．

解答 解：（1）由$|\overrightarrow a|=4，|\overrightarrow b|=3，（2\overrightarrow a-3\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）=61$，得
$4|\overrightarrow{a}{|}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow-3|\overrightarrow{|}^{2}=61$，即4×${4}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow-3×{3}^{2}=61$，得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-6$，
∴$cosθ=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=\frac{-6}{4×3}=-\frac{1}{2}$，
∵0≤θ≤π，
∴$θ=\frac{2π}{3}$；
（2）∵$\vec c=t\vec a+（1-t）\vec b$，
∴$\overrightarrow•\overrightarrow{c}=\overrightarrow•[t\overrightarrow{a}+（1-t）\overrightarrow]$=$t\overrightarrow{a}•\overrightarrow+（1-t）|\overrightarrow{|}^{2}=-15t+9=0$，
∴t=$\frac{3}{5}$，
則$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{{\overrightarrow{c}}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{5}\overrightarrow{a}+\frac{2}{5}\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{\frac{9}{25}|\overrightarrow{a}{|}^{2}+\frac{12}{25}\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\frac{4}{25}|\overrightarrow{|}^{2}}=\frac{6\sqrt{3}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了向量模的求法，關(guān)鍵是掌握$|\overrightarrow{a}{|}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}$，是中檔題．