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2.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12,F1,F2是橢圓的兩個焦點,P是橢圓上任意一點,且△PF1F2的周長是6.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設圓T:(x-t)2+y2=49,過橢圓的上頂點M作圓T的兩條切線交橢圓于E、F兩點,當圓心在x軸上移動且t∈(0,1)時,求EF的斜率的取值范圍.

分析 (1)由橢圓離心率得到a,c的關系,再由△PF1F2的周長是6,得a,c的另一關系,聯立求得a,c的值,代入隱含條件求得b,則橢圓方程可求;
(2)橢圓的上頂點為M(0,3),設過點M與圓T相切的直線方程為y=kx+3,由圓心到切線距離等于半徑得到關于切線斜率的方程,由根與系數關系得到k1+k2=-183t9t24,k1k2=239t24,再聯立一切線方程和橢圓方程,求得E的坐標,同理求得F坐標,另一兩點求斜率公式得到kEF=3k1+k234k1k2=543t10427t2.然后由函數單調性求得EF的斜率的范圍.

解答 解:(1)由e=12,即ca=12,
由△PF1F2的周長是6,
由橢圓的定義可得2a+2c=6,
解得a=2,c=1,b=a2c2=3
所求橢圓方程為x24+y23=1;
(2)橢圓的上頂點為M(0,3),
設過點M與圓T相切的直線方程為y=kx+3
由直線y=kx+3與T相切可知|kt+3|1+k2=23,
即(9t2-4)k2+183tk+23=0,
可得k1+k2=-183t9t24,k1k2=239t24
{y=k1x+33x2+4y2=12,得(3+4k12)x2+83k1x=0.
解得xE=-83k13+4k12
同理xF=-83k23+4k22,
則kEF=yEyFxExF=k1xE+3k2xF+3xExF
=k1xEk2xFxExF=3k1+k234k1k2=543t10427t2
當0<t<1時,f(t)=543t10427t2為增函數,
故EF的斜率的范圍為(0,54377).

點評 本題考查了橢圓方程的求法,考查了直線與圓,直線與橢圓的位置關系,直線與圓相切的條件,訓練了利用函數單調性求函數的最值,是中檔題.

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