分析 (1)由橢圓離心率得到a,c的關系,再由△PF1F2的周長是6,得a,c的另一關系,聯立求得a,c的值,代入隱含條件求得b,則橢圓方程可求;
(2)橢圓的上頂點為M(0,√3),設過點M與圓T相切的直線方程為y=kx+√3,由圓心到切線距離等于半徑得到關于切線斜率的方程,由根與系數關系得到k1+k2=-18√3t9t2−4,k1k2=239t2−4,再聯立一切線方程和橢圓方程,求得E的坐標,同理求得F坐標,另一兩點求斜率公式得到kEF=3(k1+k2)3−4k1k2=54√3t104−27t2.然后由函數單調性求得EF的斜率的范圍.
解答 解:(1)由e=12,即ca=12,
由△PF1F2的周長是6,
由橢圓的定義可得2a+2c=6,
解得a=2,c=1,b=√a2−c2=√3,
所求橢圓方程為x24+y23=1;
(2)橢圓的上頂點為M(0,√3),
設過點M與圓T相切的直線方程為y=kx+√3,
由直線y=kx+√3與T相切可知|kt+√3|√1+k2=23,
即(9t2-4)k2+18√3tk+23=0,
可得k1+k2=-18√3t9t2−4,k1k2=239t2−4,
由{y=k1x+√33x2+4y2=12,得(3+4k12)x2+8√3k1x=0.
解得xE=-8√3k13+4k12,
同理xF=-8√3k23+4k22,
則kEF=yE−yFxE−xF=(k1xE+√3)−(k2xF+√3)xE−xF
=k1xE−k2xFxE−xF=3(k1+k2)3−4k1k2=54√3t104−27t2.
當0<t<1時,f(t)=54√3t104−27t2為增函數,
故EF的斜率的范圍為(0,54√377).
點評 本題考查了橢圓方程的求法,考查了直線與圓,直線與橢圓的位置關系,直線與圓相切的條件,訓練了利用函數單調性求函數的最值,是中檔題.
科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | (-2,2) | B. | (-1,1) | C. | (-2,1) | D. | (-1,2) |
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
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