Question

【題目】提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況.在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時(shí)）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)，當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)，研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).

（1）當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v（x）的表達(dá)式；

（2）當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某測觀點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）f（x）＝x·v（x）可以達(dá)到最大，并求出最大值.（精確到1輛/小時(shí)）

Answer 1

【答案】（1） （2） 當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3 333輛/小時(shí)

【解析】

試題分析：（1）設(shè)v（x）=ax+b.利用x的范圍，列出方程組求解a，b，即可得到函數(shù)的解析式；（2）求出車流量f（x）=v（x）x的表達(dá)式，然后求解最大值即可

試題解析：（1）由題意：當(dāng)0≤x≤20時(shí)，v（x）＝60；

當(dāng)20≤x≤200時(shí)，設(shè)v（x）＝ax＋b，

再由已知得解得故函數(shù)v（x）的表達(dá)式為

（2）依題意并由（1）可得

f（x）＝

當(dāng)0≤x≤20時(shí)，f（x）為增函數(shù)，故當(dāng)x＝20時(shí)，其最大值為60×20＝1200；

當(dāng)20≤x≤200時(shí)，f（x）＝x（200－x）≤ []2＝，

當(dāng)且僅當(dāng)x＝200－x，即x＝100時(shí)，等號(hào)成立.

所以，當(dāng)x＝100時(shí)，f（x）在區(qū)間上取得最大值.

綜上，當(dāng)x＝100時(shí)，f（x）在區(qū)間上取得最大值≈3 333，

即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3 333輛/小時(shí).